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多重連加符號(Σ)的問題

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多重連加符號(Σ)的問題


印象中敝人以前在學校沒遇到過這種多重連加符號的問題,但我自認為這樣表示是可以的,所以我想請問
1.題目的表示法(尤其是Σ的上下標)確實是有意義、可以計算的嗎?
2.若題目是有意義的,請問答案是不是n(n+1)(n+2)(n+3)/24?
3.若答案是對的,請問您是怎麼計算出來的?
謝謝大家!

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回復 1# 克勞棣 的帖子

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題目相當於求有多少組的 \((m,k,j,i)\) 滿足 \(n\geq m\geq k\geq j\geq i\geq 1\) (每碰到一組滿足條件的~就加一個 \(1\))

\(n\geq m\geq k\geq j\geq i\geq 1\) 等價於 \(1\leq i<j+1<k+2<m+3\leq n+3\)

而 \((i,j+1,k+2, m+3)\) 有 \(\displaystyle C^{n+3}_4 = \frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{4!}\) 組,

所以,所求為 \(\displaystyle \frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{4!}\)

(或是習慣用 \(H\) 的話,用 \(\displaystyle H^n_4 = C^{n+3}_4\) 去想也可以。)

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或是純粹用 sigma 的特性,分項對消。

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回復 3# weiye 的帖子

沒想到裂項求和還可以這樣用在這裡啊!真是令人驚豔!

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