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2020 數奧題目

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2020 數奧題目

好像看過,卻百思不得其解,希望有高手幫忙。先謝謝了。
a,b,c為正實數
求。
        (13a+13b+2c)/(2a+2b)   +  (24a-b+13c)/(2b+2c)   +    (-a+24b+13c)/(2c+2a)

之最小值

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回復 1# mathguy 的帖子

2a + 2b = x
2b + 2c = y
2c + 2a = z
把 a、b、c 用 x、y、z 表示,再用算幾

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回復 2# thepiano 的帖子

鋼琴大大,學生昨天下午3:00問我,我到晚上9:00才得到跟你一樣的起頭,很懷疑你花了多少時間,哈哈,差距就在這兒
謝謝鋼琴大。

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回復 2# thepiano 的帖子

那請問 x,y,z>0 ,(y/x+4x/y)+(z/y+9y/z)+(x/z+16z/x)
                      >= 2*2+2*3+2*4=18
   但等式成立於 y=2x , z=3y , x=4z => z =3y=6x=24z =>z=0,
錯誤 , 該如何處理以及找最小值?

[ 本帖最後由 laylay 於 2019-12-11 11:48 編輯 ]

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回復 4# laylay 的帖子

\(\displaystyle a=\frac{x+z-y}{4}\),\(\displaystyle b=\frac{x+y-z}{4}\),\(\displaystyle c=\frac{y+z-x}{4}\)

\(\displaystyle\frac{19}{2}\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\frac{5}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)\geq 19+1+5=25\)

且當等號成立時,\(x=y=z>0\)

--------------------

上面有誤,列錯式子(見下方回覆),感謝 thepiano 提醒。

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Lopez

我用程式直接在 ( 0 , 10 ] 區間,每隔0.05取a,b,c的值:
0.05 , 0.10 , 0.15 , 0.20 , ...... , 10.00

當 a = 1.8 , b = 1.8 , c = 6.25 時, 有最小值 23.4721359558316
因此, 大於 23.5 的答案似乎是不對的...

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回復 5# weiye 的帖子

應是\(\frac{19}{2}\left( \frac{z}{y}+\frac{y}{z} \right)+\left( \frac{z}{2x}+\frac{5x}{2z} \right)+\left( \frac{y}{2x}+\frac{5x}{2y} \right)\ge 19+\sqrt{5}+\sqrt{5}=19+2\sqrt{5}\)

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我也做出19+2根號5

很有趣,跟號5x=y=z,換一下數字不知道能不能做。

[ 本帖最後由 mathguy 於 2019-12-11 20:09 編輯 ]

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請問 有人可以回答 .......
x,y,z>0 ,如何找(y/x+4x/y)+(z/y+9y/z)+(x/z+16z/x) 的最大下界嗎?
令 x=sz , y=tz ,原函數值=(t/s+4s/t)+(1/t+9t)+(s+16/s) , 當 s,t=0.1~10.0 共有10000個點時 s=1.8 , t=0.9 時 有最小值 28.4
請問有人可以畫出以原X軸為s軸,原Y軸為t軸,原Z軸為函數值的3D波浪圖嗎?
還有 多變數的連續函數值若有下界(本題 0 顯然是它的下界) , 則必有最大下界, 怎麼證明?

[ 本帖最後由 laylay 於 2019-12-12 10:19 編輯 ]

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關於4樓laylay老師的題目

抱歉
想請問鋼琴老師
算式的係數是如何找出的
應該說 如何利用最一開始題目代換的方式
求出該式的極值

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