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108竹北高中代理

回復 4# Rita 的帖子

計算第5題
已知斜三稜柱\(ABC-A_1B_1C_1\)的各稜長均為2,測稜\(BB_1\)與底面\(ABC\)所成角為\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\),且側面\(ABB_1A_1⊥\)底面\(ABC\).
(1)證明:點\(B_1\)在平面\(ABC\)上的投影點\(O\)為\(AB\)的中點.
(2)求點\(C_1\)到平面\(CB_1A\)的距離.
[證明]
(1) 面\(AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}\)垂直面\(ABC\),\({{B}_{1}}\)在面\(ABC\)上的投影點\(O\)在\(\overline{AB}\)上
\(\angle {{B}_{1}}BO={{60}^{\circ }},\overline{{{B}_{1}}B}=2,\overline{BO}=1\),\(O\)為\(\overline{AB}\)中點

(2) 四面體\({{C}_{1}}-C{{B}_{1}}A\)、\(B-C{{B}_{1}}A\)、\(A-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)的體積均為斜三稜柱的\(\frac{1}{3}\)
設\({{C}_{1}}\)到面\(C{{B}_{1}}A\)的距離為\(h\)
\(\begin{align}
  & \overline{AC}=2,\overline{A{{B}_{1}}}=\overline{B{{B}_{1}}}=2,\overline{C{{B}_{1}}}=\sqrt{{{\overline{O{{B}_{1}}}}^{2}}+{{\overline{OC}}^{2}}}=\sqrt{3+3}=\sqrt{6} \\
& \Delta C{{B}_{1}}A=\frac{\sqrt{15}}{2} \\
& \frac{\sqrt{15}}{2}\times h\times \frac{1}{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times {{2}^{2}}\times \sqrt{3}\times \frac{1}{3} \\
& h=\frac{2}{5}\sqrt{15} \\
\end{align}\)

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回復 8# advlll 的帖子

計算第4題
4.
已知數列\(\langle\;a_n \rangle\;\),滿足\(\cases{a_1=1 \cr a_{n+1}=2a_n+1,(n \in N)}\);
(1)求數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)的一般式.
(2)若數列\(\langle\;b_n \rangle\;\)滿足\(4^{b_1-1}\cdot 4^{b_2-1}\cdot 4^{b_3-1}\cdot \ldots \cdot 4^{b_n-1}=(a_n+1)^{b_n}\),試證數列\(\langle\;b_n \rangle\;\)為等差數列.
[解答]
\(\begin{align}
  & {{a}_{n}}={{2}^{n}}-1 \\
& {{4}^{{{b}_{1}}-1}}={{\left( {{a}_{1}}+1 \right)}^{{{b}_{1}}}}={{2}^{{{b}_{1}}}} \\
& {{b}_{1}}=2 \\
& {{4}^{{{b}_{1}}-1}}\times {{4}^{{{b}_{2}}-1}}\times {{4}^{{{b}_{3}}-1}}\times \cdots \cdots \times {{4}^{{{b}_{n}}-1}}={{\left( {{a}_{n}}+1 \right)}^{{{b}_{n}}}} \\
& {{2}^{2\left( {{b}_{1}}+{{b}_{2}}+{{b}_{3}}+\cdots \cdots +{{b}_{n}}-n \right)}}={{2}^{n{{b}_{n}}}} \\
& 2\left( {{b}_{1}}+{{b}_{2}}+{{b}_{3}}+\cdots \cdots +{{b}_{n}}-n \right)=n{{b}_{n}} \\
& {{b}_{1}}+{{b}_{2}}+{{b}_{3}}+\cdots \cdots +{{b}_{n}}=\frac{n{{b}_{n}}+2n}{2}=\frac{n\left( {{b}_{1}}+{{b}_{n}} \right)}{2} \\
\end{align}\)

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回復 15# Lyndagm 的帖子

一路領先問題,可參考這篇的說明
h ttp://b014.hchs.hc.edu.tw/ezfiles/14/1014/img/161/100195181.pdf 連結已失效

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回復 17# Lyndagm 的帖子

x 軸是巧克力,y 軸是棒棒糖

從 (5,7) 往左或往下走捷徑到 (0,0)

由於剩下的巧克力不多於(少於或等於)剩下的棒棒糖,故能碰到綠線但不能碰到紅線

從 (5,7) 往左或往下走捷徑到 (0,0) 且會碰到紅線的每一種走法,恰對應一種從 (8,4) 往左或往下走到 (0,0) 的走法

故所有可能情形 = C(12,7) - C(12,8)

附件

20210403.jpg (55.03 KB)

2021-4-3 18:30

20210403.jpg

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