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空間內的格子點

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空間內的格子點

請教解答中的x-y=n+k-(2i+1)為何有n-k+1個格子點?

[ 本帖最後由 Exponential 於 2019-6-4 10:47 編輯 ]

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2019-6-4 10:47

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回復 1# Exponential 的帖子

解答有錯,兩種情況的結果顛倒了,應更正為:
x - y = n + k - ( 2i + 1 ) 上格子點有 n - k 個 ;
x - y = n + k - 2i 上格子點有 n - k + 1 個.

計算如下:
(1) 當直線為 x - y = n + k - ( 2i + 1 )
y = x - n - k + 2i +1
x + y = 2x - n - k + 2i +1
但此直線是以 - n + k ≤ x + y ≤ n - k 為界,因此:
- n + k ≤ 2x - n - k + 2i +1 ≤ n - k
2k - 2i - 1 ≤ 2x ≤ 2n - 2i - 1
k - i - 0.5 ≤ x ≤ n - i - 0.5
滿足此不等式的整數 x 為 ( k - i ) ~ ( n - i - 1 ) 的整數,
個數 = ( n - i - 1 ) - ( k - i ) + 1 = n - k

(2) 當直線為 x - y = n + k - 2i
y = x - n - k + 2i
x + y = 2x - n - k + 2i
但此直線是以 - n + k ≤ x + y ≤ n - k 為界,因此:
- n + k ≤ 2x - n - k + 2i ≤ n - k
2k - 2i ≤ 2x ≤ 2n - 2i
k - i  ≤ x ≤ n - i
滿足此不等式的整數 x 為 ( k - i ) ~ ( n - i ) 的整數,
個數 = ( n - i ) - ( k - i ) + 1 = n - k + 1

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