想請問第7.9.13 這三題

第14題是106彰女獨招的題目，數字沒改

#4  (99左營高中)  提示: 利用算幾不等式,[2^0+2^1+..........+2^(n-1)]/ n >=  { 2^[(n-1)n/2] } ^(1/n)
#12 (96大甲高中,100香山高中) 答:4/e
#14 (TRML 2005年  個人賽 )  答:√(2/3)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-6-2 13:12 編輯 ]

想請教各位老師第七題，

\(a_1=1, a_2=0, a_3=3, a_4=1,...\)
數列三個一循環

將n分為三個cases

case 1:n為3的倍數
\(S_n=\frac{n}{3}(1+0+3)=\frac{4}{3}n\)
\(\frac{S_n}{n}\to \frac{4}{3}\quad as \quad n\to \infty\)

case 2:n為3的倍數+1
\(S_n=\frac{n-1}{3}(1+0+3)+1=\frac{4}{3}(n-1)+1\)
\(\frac{S_n}{n}\to \frac{4}{3}\quad as \quad n\to \infty\)

case 3:n為3的倍數+2
\(S_n=\frac{n-2}{3}(1+0+3)+1+0=\frac{4}{3}(n-2)+1\)
\(\frac{S_n}{n}\to \frac{4}{3}\quad as \quad n\to \infty\)

由case 1, 2, 3,
\(\frac{S_n}{n}\to \frac{4}{3}\quad as \quad n\to \infty\)

這樣的想法是否有誤？

引用:

原帖由 min751102 於 2019-6-2 11:38 發表
想請問第7.9.13 這三題
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#7
假設直線L與拋物線T:x=y²/8 的交點為A(2a² ,4a) ,B(2b² ,4b) 且a>b
則線段AB中點C(a²+b²,2a+2b) ,令X=a²+b²,Y=,2a+2b -----------(1)
又由L與T所圍區域面積= (1/8)*(4a-4b)^3 / 6 =2/3 ,得a-b =(1/2)^(1/3)-----------(2)
將(2)代入(1)整理X與Y的關係為Y² =8X-4(1/4)^(1/3)

想請問5.6-2.11

第六題我是直接令座標
O(0，0，0)A(1，0，0)B(-1/2，根號3/2，0)C(0，0，1)
(1)P在(1/2，0，1/2)
Q為(1-t*根號3，-t，0)
PQ向量=(1/2-T*根號3，-T，-0.5)，OA向量=(1，0，0)
所以T=根號3/6，AB長=2，AQ長=根號3/3，答案是2根號3
(2)OAC在Y=0，ABC在X+Y*根號3+Z=1
法向量為N1=(0，1，0)；N2=(1，根號3，1)
長度為1和根號6
COS值=根號3/根號6=根號2/2

引用:

原帖由 jasonmv6124 於 2019-6-2 20:03 發表
想請問5.6-2.11

#5
α+β=-t ,αβ=s
α²+β² =(α+β)² - 2αβ= t² -2s <2-------(1)
且D=t² -4s>=0-----------(2)
由題意知(1)&(2)即為在x,y坐標平面上由y² -2x<2及y² -4x>=0
所圍區域面積(如下如所示的橘色區域)
所求旋轉體積= π[ ∫ (-1,0)  (2x+2)dx + ∫ (0,1) (2x+2 -4x) dx =2π

第11題
\(\begin{align}
  & {{x}^{2}}+1+\sqrt{{{x}^{4}}-8x+8} \\
& =\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2x-0 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2x-2 \right)}^{2}}} \\
\end{align}\)
是拋物線\({{y}^{2}}=4x\)上一點\(P\left( {{x}^{2}},2x \right)\)到\(F\left( 1,0 \right)\)和\(A\left( 2,2 \right)\)距離和之最小值
易知\(P\left( 1,2 \right),\overline{PA}+\overline{PF}=3\)

謝謝鋼琴老師，沒看出是拋物線
此題我用變數變換令\(x^2+1=A>0\)去配方，可以得到\(x=1\)時會有極值