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因式判別

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因式判別

請問如何判別 x^13 + x + 90 是否為 x^2 - x - 1 的因式?感恩

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回復 1# rotch 的帖子

您題目寫反了

若\({{x}^{2}}-x-1\)是\({{x}^{13}}+x+90\)的因式
則\({{x}^{2}}-x-1\text{=0}\)的根\(\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\)亦為\({{x}^{13}}+x+90\text{=}0\)之根
易知\(\frac{1\text{+}\sqrt{5}}{2}>0\)不為\({{x}^{13}}+x+90\text{=}0\)之根
而\(-1<\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0\),由勘根定理\({{x}^{13}}+x+90\text{=}0\)無根位於\(\left[ -1,0 \right]\)
故\({{x}^{2}}-x-1\)不是\({{x}^{13}}+x+90\)的因式

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-5-24 11:37 編輯 ]

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對於 x∈R, f(x) = x¹³ +x +90 嚴格遞增 (不必微分亦可知: 因只含正係數的奇次項及常數)

⇒ f(x) = 0 恰有一實根

⇒ x² -x -1 不是 f(x) 的因式

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