x, y, z ∈ Z 且滿足 x³ + y³ + z³ = 132 與 x + y + z = 6，求 (x, y, z)。


由  (x + y) | (x³ + y³)

⇒  (z - 6) | (z³ -  132)

⇒  (z - 6) | 84

同理 (x - 6) | 84 且 (y - 6) | 84

因 84 的因數較多，進一步篩選: 由立方和易知 x - 6, y - 6, z - 6 皆形如 3k+2

即 ∈ { -28, -7, -4, -1, 2, 14 }

又 x - 6, y - 6, z - 6 之和 = -12 且為 2奇 1偶

⇒ { x, y, z } = { -1, 2, 5 }

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(z - 6) | (z³ -  132)

又 (z - 6) | (z³ - 6³)

⇒ (z - 6) | (z³ - 132) - (z³ - 6³)

⇒ (z - 6) | 84


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把整數 n 依模 3 分類，易知

n³ ≡ -1, 0, 1 (mod 9)

又 x³ + y³ + z³ ≡ -3 (mod 9)

⇒  x, y, z 皆形如 3k-1 (或 3k+2)

⇒  x-6, y-6, z-6 亦然