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請教一題排列組合問題,謝謝。

本主題由 weiye 於 2019-5-1 15:59 移動
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請教一題排列組合問題,謝謝。

各位老師好:
「5顆不同的球,放進4個相同的箱子,方法有幾種?」
討論(5,0,0,0)、(4,1,0,0)、...再利用分組分堆算出答案為51種。
請問該如何正確使用以下的想法?

\[\frac{4^{5}+??}{4!}\]

謝謝指教!

[ 本帖最後由 mojary 於 2019-5-1 11:00 編輯 ]

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n{ 0, 0, 0, 5 } = 1
n{ 0, 0, 1, 4 } = C(5,1) = 5
n{ 0, 0, 2, 3 } = C(5,2) = 10
n{ 0, 1, 1, 3 } = C(5,3) = 10
n{ 0, 1, 2, 2 } = C(5,1)* C(4,2)/2! = 15
n{ 1, 1, 1, 2 } = C(5,2) = 10
以上共 51 種

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回復 1# mojary 的帖子

\(\frac{{{4}^{5}}+20+60+120}{4!}=51\)
上面的方法是先把 4 個箱子視為相異,所以它最後除以 4!

(5,0,0,0) 此種情形在箱子相異時,只有 4 種情形
所以要把那些 0 都視為相異後,再除以 4!
故要加 4! – 4 = 20,這樣除完就是箱子相同時的 1 種

剩下的 60 和 120 分別是 (4,1,0,0) 和 (3,2,0,0) 要加的

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感謝感謝~

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