回復 6# arend 的帖子
若 \(n=1\)，\(2^{2}+2+2^{10}=1030\) 非完全平方
若 \(n=2\)，\(2^{2}+2^{2}+2^{10}=1032\) 非完全平方
若 \(n=3\)，\(2^{2}+2^{3}+2^{10}=1036\) 非完全平方
若 \(n\geq 4\)，\(2^{2}+2^{n}+2^{10}=2^{2}(1+2^{n-2}+2^{8})\)
因此 \(1+2^{n-2}+2^{8}\) 為完全平方數，且為奇數
設 \(1+2^{n-2}+2^{8}=(1+2k)^{2}\)，展開得 \(2^{n-2}+2^{8}=4k+4k^{2}\)
因為 \(n\geq 4\)，所以 \(2^{n-4}+2^{6}=k+k^{2}=k(k+1)\)
即 \(2^{n-4}+2^{6}\) 為兩相鄰整數相乘
1. 若 \(n-4 \geq 6\)，\(2^{n-4}+2^{6}=2^{6}(2^{n-10}+1)\)，得 \(n-10=6\)，\(n=16\)
2.若 \(n-4 < 6\)，\(2^{n-4}+2^{6}=2^{n-4}(1+2^{10-n})\)，得 \(n-4=10-n\)，\(n=7\)
所以 最大值為 \(16\)，最小值為 \(7\)
