第 7 題
設\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)為平面上兩個非零向量，且\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)的夾角為\(60^{\circ}\)，令\(\displaystyle r=\frac{|\;\vec{a}+2\vec{b}|\;}{|\;2\vec{a}+\vec{b}|\;}\)，試求\(r\)的範圍為　　　。
參考附圖

第 8 題
試求\(\displaystyle sin \frac{\pi}{25}\cdot sin \frac{2\pi}{25}\cdot sin \frac{3\pi}{25}\ldots sin \frac{12\pi}{25}\)之值為　　　。

\(\sin \frac{\pi }{2n+1}\times \sin \frac{2\pi }{2n+1}\times \sin \frac{3\pi }{2n+1}\times \cdots \times \sin \frac{n\pi }{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{{{2}^{n}}}\)

兩實兩虛

第 5 題
某醫院有四名志工甲、乙、丙、丁，若醫院每天需要二名志工，且每人至少參加二天志工服務，則該醫院週一至週五的5天志工服務有　　　種安排的方法。
[解答]
(1) 1 人做 4 天，另 3 人各做 2 天
C(4，1) * C(5，4) * C(3，2) * C(4，1) * C(3，1) = 720

(2) 2 人做 3 天，另 2 人各做 2 天

從做 3 天的這 2 人考慮
(i) 2 人重複 3 天
C(5，3) = 10

(ii) 2 人重複 2 天
C(5，2) * C(3，1) * C(2，1) * C(2，1) = 120

(iii) 2 人重複 1 天
C(5，1) * C(4，2) * C(4，2) = 180

C(4，2) * (10 + 120 + 180) = 1860

所求 = 720 + 1860 = 2580

k > 0 時，它是遞增函數，且當 k → ∞ 時，其值趨近於 4

前面的 C(4，2)，做 3 天的其中 1 人從重複以外的其餘 4 天中選 2 天做，另 1 人已無選擇
後面的 C(4，2)，只做 2 天的其中 1 人從重複以外的其餘 4 天中選 2 天做，另 1 人已無選擇

第 4 題
甲和己要同組，那甲和乙一定不同組，戊和己也一定不同組
即乙、丙、丁、戊、庚、辛、壬、癸這 8 人平分成 4 組，且丙、丁不同組，庚、辛不同組，壬、癸不同組
所求\(\displaystyle =\frac{C_{2}^{8}C_{2}^{6}C_{2}^{4}C_{2}^{2}}{4!}-3\times \frac{C_{2}^{6}C_{2}^{4}C_{2}^{2}}{3!}+3\times \frac{C_{2}^{4}C_{2}^{2}}{2!}-1\)