107新竹高中(記憶版)

新竹高中這幾年都沒有公開題目，我想今年也不例外
(感謝大家的回覆，22F的czk0622老師已幫大家整理成PDF檔)
底下內容為大家回憶集結而成，還請幫忙檢查

第一部分：
01. 設\( A=\{a,b,c,d\} \)，\( B=\{1,2,3\} \)，\( f:A→B \)，使\( f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=8 \)有幾種？

02.實係數四次方程式\(x^{4}-8x^{3}+24x^{2}+ax+b=0\)為兩實根兩虛根，兩實根和為4，兩虛根積為5，求\((a,b)\)

03.A,B為相異四位數的正整數，\(logA\)的尾數為\(logB\)的3倍，若A的最大值為m，此時B的最大值為n，求\((m,n)\)

04.某老師一天可能有3到5堂數學課(一天有8堂)，然後不能有連3而且第4第5節不能同時排，問一天有多少種排數學課方式(不考慮不同班級)

05.有兩條直線\(L1:y=2x−106,L2:y=3x−107\)，平面座標上有一點\(P(4,5)\) 對\(L_{1}\)的對稱點為Q，Q對\(L_{2}\)的對稱點為R，\(L_{1},L_{2}\)的交點為K，則\(tan\angle PKR\) 為？

06. \(x,y\in R\)，\(−2\leq y\leq\sqrt{25−x^{2}} \)，\(x+2y\)的最大值為M、最小值為m，數對\((M,m)\) 為？

07. \(a,b,c \in\mathbb{R}\)，若\(a^2+b^2+c^2=10,d^2\leq 4\)，則\(\left |\begin{array}{ccc}
a&b&c\\1&d&4\\2&-1&4\end{array}\right| \)

08. \(\displaystyle\omega =cos\frac{2\pi}{7}+i sin\frac{2\pi}{7}\)，求\(|2-\omega|^2+|2-\omega^2|^2+\dots+|2-\omega^6|^2\)

09.\(\displaystyle a_{n}=(1-(\frac{n-1}{n})^{4})+(1-(\frac{n-2}{n})^{4})+(1-(\frac{n-3}{n})^{4})+\cdots+(1-(\frac{n-2n}{n})^{4})\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{n}\)

10.\(\displaystyle L:\frac{x+6}{2}=\frac{y+4}{-3}=\frac{z-1}{6}\)上的一點\(A(-6,-4,1)\)，\(E:19x-4y+8z=8\)，L與E交於一點B，在平面上有一點C，使得\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，則當三角形ABC面積最大時，C點座標為？

第二部分
01. \(f(x)\)為3次實係數多項式，\(f(x)\)在\(x=1\)以及\(x=5\)時有極值，且\(f(x)\)在\((3,f(3))\)的切線方程式為\(y=4x-12+f(3)\)，求\(\displaystyle \int_{0}^{2}f'(x)dx\)

02. \(\displaystyle a_1=\frac{4}{3} \)，\((4^n -1)a_n =3\) x \(4^{n-1} S_n \)
      (1) 求\( S_n \)

      (2)\(\displaystyle b_{n}=\frac{n}{3a_n} \)， \(T_{n}\)為<\(b_{n}\)>之和，求\(\displaystyle \lim_{n→\infty}T_{n}= \)

03. (1)\(x^2+y^2=2 \) 與 \(y=1 \) 圍成的弓形繞 \(x\) 軸旋轉的旋轉體體積。

      (2)\(x^2+y^2=2 \) 與 \( \displaystyle x+y= \sqrt{2} \) 圍成的弓形繞  \( \displaystyle x+y= \sqrt{2} \) 旋轉的體體積。

04.設\(X\)~\(B(n,p)\)，求\( \displaystyle E(\frac{1}{X+1})\)

05.用4種顏色塗九宮格，顏色可重複使用，相鄰不同色，每區只能塗一色，有幾種塗法？