例題1 → 如例題1及例題2你寫的方法。其實就是排容原理。

例題2

\(x_1+x_2+x_3+x_4 = 16 \Rightarrow \left(5-x_1\right)+\left(5-x_2\right)+\left(5-x_3\right)+\left(5-x_4\right) = 4\)

令 \(y_1 = 5-x_1\) ， \(y_2 = 5-x_2\) ， \(y_3 = 5-x_3\) ， \(y_4 = 5-x_4\)

則原題目等同於

求 \(y_1+y_2+y_3+y_4 = 4\) 的非負整數解有多少組，其中 \(y_1, y_2, y_3, y_4\) 均為介於 \(0\) ~ \(5\)之整數

所以答案就是 \(H_4^4 = 35\)


例題3，原理同上， \(x_1+x_2+x_3+x_4 = 16 \Rightarrow \left(4-x_1\right)+\left(4-x_2\right)+\left(5-x_3\right)+\left(6-x_4\right) = 3\)

所以答案就是 \(H_3^4 = 20\)


教到這部分，我喜歡問學生： "四顆骰子放在桌面上，已知桌面上看去四顆點數和為 \(20\)，那這四顆骰子與桌面相貼在一起的那四面，點數和又是多少？" 並提示學生，骰子對面的兩個點數和為 \(7\)，也就是抽任一顆骰子來看看，都會發現 \(1\) 的對面是 \(6\)，\(2\) 的對面是 \(5\)，\(3\) 的對面是 \(4\)。

a1.png (2.46 KB)

2018-4-4 22:13

顯示出來就是位在行內的數學式： \(x^2\)

a2.png (2.21 KB)

2018-4-4 22:13

顯示出來就是單獨一行且置中的數學式： \[x^2\]

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例題3：

\(1\leq x_1 \leq4 \Rightarrow 0\leq4-x_1\leq3\)

\(1\leq x_2 \leq4 \Rightarrow 0\leq4-x_2\leq3\)

\(1\leq x_3 \leq5 \Rightarrow 0\leq5-x_3\leq4\)

\(1\leq x_4 \leq6 \Rightarrow 0\leq6-x_4\leq5\)

然而 \(\left(4-x_1\right)+\left(4-x_2\right)+\left(5-x_3\right)+\left(6-x_4\right) = 3\)

所以 \(\left(4-x_1\right), \left(4-x_2\right), \left(5-x_3\right), \left(6-x_4\right)\) 都不會超過三，

因此不會有影響。


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例題2：你回覆的數學式子地方，有打字上的小錯誤， 第一個方程式多打 \(y_1\) 到 \(y_4\) 了。