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三圓柱相交的體積

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三圓柱相交的體積

之前做兩圓柱相交的體積
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=162&page=4#pid17835

最近在做三圓柱相交的體積,有問題想請各位網友提供意見
我參考這裡的資料
http://calculus.nctu.edu.tw/uplo ... ns_porj_cylind.html
在18.bmp的\( z=\sqrt{1-x^2} \)轉換成19.bmp的\( z=\sqrt{1-(r cos \theta)^2} \)
要怎麼用動畫直觀表達出\( x=r cos \theta \)

參考資料的圓柱坐標用\( (r,\theta,z) \),wiki用的是\( (\rho,\phi,z) \)
https://zh.wikipedia.org/wiki/圓柱坐標系
大家覺得這個有需要改嗎?

107.4.6
目前沒有網友回應,先做成gif動畫
 \(\displaystyle 16 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-(r cos \theta)^2}}r dz dr d \theta \)
\(\displaystyle =16 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_0^1 rz \Bigg\vert\;_{z=0}^{z=\sqrt{1-(r cos \theta)^2}} dr d \theta\)
\( \displaystyle =16 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_0^1 r\sqrt{1-(rcos\theta)^2} dr d\theta \)
\(\displaystyle =16 \int_0^{\frac{\pi}{4}} -\frac{(1-(rcos\theta)^2)^{\frac{3}{2}}}{cos \theta} \Bigg\vert\;_{r=0}^{r=1}d \theta \)
\(\displaystyle =16 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1-sin^3 \theta}{3cos^2 \theta}d\theta\)
\(\displaystyle =\frac{16}{3}(tan\theta-sec\theta-cos\theta)\Bigg\vert\;_{\theta=0}^{\theta=\frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle =\frac{16}{3}(3-\frac{3\sqrt{2}}{2})\)
\(=16-8\sqrt{2}\)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2018-4-6 08:07 編輯 ]

附件

三圓柱相交的體積SketchUp檔.zip (398.17 KB)

2018-4-6 07:34, 下載次數: 16

三圓柱相交的體積.gif (152.43 KB)

2018-4-6 08:07

三圓柱相交的體積.gif

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