(嘗試不使用尤拉定理或費馬小定理解本題)
n = 2 時命題成立，以下考慮 n > 2 的情形。
令 2^n! - 1 = M，只要證明 (n+1) | M 與 (n-1) | M 即可。
(n+1) | M 的證明:
考慮 n+1 個數 2⁰+1，2¹+1，2²+1，...2ⁿ+1 :
1. 若其中有兩者對於模 n+1 同餘，則其差為 n+1 的倍數。則易知:
存在 p∈N，1 ≤ p ≤ n，滿足 (n+1) | (2^p -1)，又 (2^p -1) | M，得證。
2. 若此 n+1 個數對模 n+1 皆不同餘，則存在 q∈N，1 ≤ q ≤ n，滿足 (n+1) | (2^q +1)，又 (2^q +1) | M，得證。
(n-1) | M 的證明:
仿上述 1. (亦可考慮 n 個數: 2¹，2²，...2ⁿ)，其中必然有兩者對於模 n-1 同餘，同理得證。
綜上，原命題成立。
