第1題
恰有兩個數字相同的三位數有 個。
[解答]
aab(加排列數) + aa0 or a0a +b00
\(
\displaystyle C_2^9 \times 2! \times \frac{{3!}}{{2!}} + C_1^9 \times 2 + 9 = 243
\)
第7題
華江熱食部餐點一共有水餃(只供應韭菜水餃)、便當(供應排骨、雞腿便當)，湯麵(供應肉羹麵、土魠魚羹麵、魷魚羹麵)三種類型，共有6種餐點。小明每天中午都在熱食部隨機選購1種餐點，而且每天選購的類型皆與前一天相異，例如：若小明周一選購湯麵類，則周二就從水餃類、便當類共三種餐點中隨機選購1種餐點。長期而言，小明選購排骨便當的機率為 。
[解答]
\(
\left[ {\begin{array}{*{20}c}
\displaystyle {\rm{0}} & {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}} & {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}} \\
\displaystyle {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{5}}}} & {\rm{0}} & {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}} \\
\displaystyle {\frac{{\rm{3}}}{{\rm{5}}}} & {\frac{{\rm{3}}}{{\rm{4}}}} & {\rm{0}} \\
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c}
x \\
y \\
{1 - x - y} \\
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
x \\
y \\
{1 - x - y} \\
\end{array}} \right]
\)
\(
\displaystyle 得y = \frac{4}{{11}}，再乘機率\frac{1}{2}即為所求
\)
速算法應該如何表述呢？
第8題
設\(P,Q\)為雙曲線\(\displaystyle \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{12}=1\)上的兩點，若\(F_1\)、\(F_2\)為此雙曲線的兩個焦點，\(\overline{PQ}\)過\(F_2\)為此雙曲線的一焦弦，\(∠F_2PF_1=60^{\circ}\)，則\(\Delta PQF_1\)周長為 。
怪怪的，算出來跟答案不一樣
第9題
\(y=f'(x)\)如下圖，\(y=f'(x)\)在\(x=3\)時有極大值，在\(x=5\)時有極小值，三個封閉區域\(A、B、C\)面積分別為7、6、4，且\(f(0)=10\)，\(f'(7)=2\)，若\(g(x)=[f(x)]^2\)，則在\(y=g(x)\)上，以\((7,g(7))\)為切點的切線方程式為 。
[解答]
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle 令切線為 y - [f(7)]^2 = g'(7)(x - 7) \\
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle g'(7) = 2f(7)f'(7) = 4f(7) \\
\displaystyle \int\limits_0^7 {f'(x)dx = -7-6+4=-9,f(7) = 1} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
\)
第11題
假設\(1,2,3,4,\ldots,10^5\)這十萬個正整數中，各位數字和不大於10的正整數有\(n\)個，則\(n=\) 。
(例如：\(7,24,250,3211,12441,\ldots\)皆合乎題意)
[解答]
\(H_{10}^6 \) - 5 + 1(100000補上) - 1(扣掉0) = 2998
第12題
某班級一周有4節藝能課：包含2節體育課，1節音樂課，1節美術課，而排課原則如下：
(1)2節體育課不能排在同一天或相鄰的2天，
(2)1天中最多只有2節藝能課。
請問：此班級在這一周5個上課天這4節藝能課的排課分布情形一共有 種不同的方法﹒
(Ps：只考慮此4節藝能課從星期一到星期五的分布情形，不須考慮在每天的哪一節課。)
[解答]
(1)藝能課和體育課不能在同一天\(C_2^4 \times 3^2 = 54\)
(2)藝能課和體育課皆在同一天\(C_2^4 \times 2 = 12\)
(3)僅一節藝能課和體育課在同一天，另一節不能在同一天\(C_2^4 \times 2 \times 2 \times 3 = 72\)
第13題
\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)、\(\vec{u}\)為空間中的四個向量。若已知\(\vec{a}\times \vec{b}=(-2,2,1)\)，\(\vec{a}\times \vec{c}=(2,1,2)\)且\(|\;\vec{a}|\;=6\)，\(\vec{u}=(1,-2,3)\)，求\(\vec{a}\)與\(\vec{u}\)所張出之平行四邊形面積為 。
[解答]
\(\displaystyle \vec a \times \vec b 與 \vec a \times \vec c 外積後的向量平行 \vec a
\)
第14題
請教先進，題目敘述要怎麼修正才能符合呢？
[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-6-20 13:59 編輯 ]
