請問4,13,15
謝謝

第 4 題
設\(a,b,c\)為正實數，求\( \displaystyle \frac{2b-2c}{a+b+2c}+\frac{2a+4c}{a+2b+c}+\frac{b}{a+b+c} \)的最小值　　　？
[解答]
令 x = a + b + 2c，y = a + 2b + c，z = a + b + c
則 a = - x - y + 3z，b = y - z，c = x - z
把原式的 a、b、c 取代為 x、y、z，再用算幾

111.4.23補充
出自建中通訊解題第61期
其他相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1569&page=5#pid14278

第 13 題
設\(x_1<x_2<x_3\)為方程式\(\sqrt{2014}x^3-4029x^2+2=0\)的三個實數根，試求\(x_2(x_1+x_3)\)之值　　　。
2014 AIMEhttps://math.pro/db/thread-1794-1-1.html

15.
在\(\Delta ABC\)中，\( \overline{AB}=6,\overline{BC}=4,\overline{CA}=5 \)，圓\(O_1,O_2,O_3\)為\(\Delta ABC\)的三個旁切圓，圓\(O_1\)和\(\overline{BC}\)相切於\(D\)，圓\(O_2\)和\(\overline{CA}\)相切於\(E\)，圓\(O_3\)和\(\overline{AB}\)相切於\(F\)。試求\( \displaystyle \frac{\Delta DEF面積}{\Delta ABC面積}= \)　　　？
[解答]
r3(tan(A/2)+(tan(B/2))=c
AEF=1/2*(r3tan(A/2))(r2tan(A/2))*sinA
       =1/2*c/(1+tan(B/2)/tan(A/2))*b/(1+tan(C/2)/tan(A/2))*sinA
ABC=1/2*bc*sinA , tan(A/2)=\(\sqrt{(s-b)(s-c)/(s(s-a))}\)
AEF/ABC=1/{[1+(s-a)/s-b)][1+(s-a)/(s-c)]}=(s-b)(s-c)/(cb)=a(s-b)(s-c)/(abc)
或者 AF=r3*tan(A/2)=ABC/(s-c)*\(\sqrt{(s-b)(s-c)/(s(s-a))}\)
                             =\(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)/(s-c)*\(\sqrt{(s-b)(s-c)/(s(s-a))}\)=s-b
同理AE=s-c
AEF/ABC=(s-b)(s-c)/(cb)=a(s-b)(s-c)/(abc)
a=4,b=5,c=6,s-a=7/2,s-b=5/2,s-c=3/2
所求=1-(4*5/2*3/2+5*7/2*3/2+6*7/2*5/2)/(4*5*6)=7/32

13.
設\(x_1<x_2<x_3\)為方程式\(\sqrt{2014}x^3-4029x^2+2=0\)的三個實數根，試求\(x_2(x_1+x_3)\)之值　　　。
[解答]
f(-1)<0,f(0)>0,f(1)<0,f(1000000)>0 =>-1<x1<0<x2<1<x3
令t=\(\sqrt{2014}\) ,
則 tx^3-(2t^2+1)x^2+2=0 => (-2x^2)t^2+(x^3)t+(-x^2+2)=0
=> ((x)t-1)((-2x)t+(x^2-2))=0 => x=1/t=x2 or x^2-2xt-2=0 =>x1x3=-2
x1x2+x1x3+x2x3=0 => 所求=-x1x3=2

請教鋼琴老師，第4題的詳解，謝謝。

來個 15 另解.
利用圓外一點到圓的兩切線段等長

設 \( \overline{AF} =x, \overline{BF} = y \)

則 \( x+y = c \) ( \(a,b,c \) 為角 A, B, C 的對邊長)
    \( x+ b = x + \) (C 到圓 \( O_3 \) 的切線段長) \( = y +a \)

兩式解聯立得 \( x = s -b,  y = s-a \)，其中  \( s = \frac{a+b+c}{2} \)

同理得 \( \overline{AE}, \overline{CE}, \overline{BD}, \overline{CD} \)

六線段長為 \( \overline{AF} = s-b = \frac52, \overline{AE} = s-c = \frac32\)
                   \( \overline{BF} = s-a = \frac72, \overline{BD} = s-c = \frac32\)
                   \( \overline{CE} = s-a = \frac72, \overline{CD} = s-b = \frac52\)

所求  \( \frac{\triangle DEF}{\triangle ABC}=\frac{\triangle AEF+\triangle BFD+\triangle CDE}{\triangle ABC}=1-\left(\frac{3}{10}\cdot\frac{5}{12}+\frac{7}{12}\cdot\frac{3}{8}+\frac{7}{10}\cdot\frac{5}{8}\right)=\frac{7}{32} \)

令 x = a + b + 2c，y = a + 2b + c，z = a + b + c
則 a = - x - y + 3z，b = y - z，c = x - z
把原式的 a、b、c 取代為 x、y、z，再用算幾
即
2*(Y-X)/X+2*(X-Y-Z)/Y+(Y-Z)/Z
其中
2*(Y-X)/X=-2+2*Y/X
2*(X-Y-Z)/Y=2*X/Y-2+2*Z/Y
(Y-Z)/Z=Y/Z-1
再算幾即可

請教第12題 感謝

12.
坐標平面上的橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{(x-8)^2}{121}+\frac{(y-15)^2}{100}=1\)上有　　　個點與原點的距離正好是整數值？
[解答]
依照題目設定
長軸一半a為11
短軸一半b為10
此設定造成橢圓上的點與橢圓中心點的距離皆在10~11之間
中心點在(8,15)，表示中心點與O距離為17
推得橢圓上的每一個點與O的距離皆在6~28之間
所以有21個點離O為整數點
21*2=42(因為橢圓中心點與O連線，橢圓被切一半有兩邊要算)

我的筆試成績不高，這兩日重新計算出來的答案，如附件！
請有計算的大大們可以跟我校對，
最後，
我想請教兩題的做法，填充3、12，感激感恩。

更新答案1060618