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106復興高中

3. 另解: 原題即證 a + b + c ≥ a²b³c³ + a³b²c³ + a³b³c²

排序不等式

a + b + c

≥ ab³ + bc³ + ca³  (順序和 ≥ 亂序和)

≥ a²b³c³ + a³b²c³ + a³b³c²   (亂序和 ≥ 逆序和)


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另外兩個不知是否能用於教甄的解法:

1. 微微對偶不等式: 取 (a³, b³, c³),(a³, b³, c³),(a², b², c²)

2. Muirhead's 不等式: 取 (8, 0, 0) majorizes (3, 3, 2)


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a + b + c

≥ ab³ + bc³ + ca³  [ 取 (a, b, c) 與 (a³, b³, c³) ⇒ 順序和 ≥ 亂序和 ]

≥ a²b³c³ + a³b²c³ + a³b³c²  [ 取 (a², b², c²) 與 (a³b³, a³c³, b³c³) ⇒ 亂序和 ≥ 逆序和 ]


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