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106復興高中

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106復興高中

如題

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106 復興高中.pdf (195.87 KB)

2017-6-2 02:52, 下載次數: 835

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1.

x(ㄏ(x^2+1)+1)=(3-x)(ㄏ[(x-3)^2+1)]+1)
令A(0,1),B(3,1),C(3,0),P(x,0)
則OP(PA+1)=PC(PB+1),由圖易知P為OC中點,即 x=1.5

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-2 12:39 編輯 ]

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請教3要用算幾還是科西還是其他...

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回復 3# litlesweetx 的帖子

只用到算幾,不知是否有誤。

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2017-6-2 08:51

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因為 \(a,b,c\in\mathbb{R^{+}},\)

\(\displaystyle \frac{a^8}{8}+\frac{a^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{c^8}{8}+\frac{c^8}{8}+\frac{c^8}{8}\geq 8 \sqrt[8]{\left(\frac{a^8}{8}\right)^2\left(\frac{b^8}{8}\right)^3\left(\frac{c^8}{8}\right)^3}=a^2b^3c^3,\)


\(\displaystyle \frac{a^8}{8}+\frac{a^8}{8}+\frac{a^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{c^8}{8}+\frac{c^8}{8}+\frac{c^8}{8}\geq 8 \sqrt[8]{\left(\frac{a^8}{8}\right)^3\left(\frac{b^8}{8}\right)^2\left(\frac{c^8}{8}\right)^3}=a^3b^2c^3,\)


\(\displaystyle \frac{a^8}{8}+\frac{a^8}{8}+\frac{a^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{c^8}{8}+\frac{c^8}{8}\geq 8 \sqrt[8]{\left(\frac{a^8}{8}\right)^3\left(\frac{b^8}{8}\right)^3\left(\frac{c^8}{8}\right)^2}=a^3b^3c^2,\)


以上三式相加,可得 \(\displaystyle a^8+b^8+c^8 \geq a^2 b^3 c^3 + a^3 b^2 c^3 + a^3 b^3 c^2\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

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7.

tanQAB=1/3 => sinRAB=1/ㄏ10, cosRAB=3/ㄏ10
又APR與ABR的面積一樣(同底等高)
故所求=1/2*(AR)(BR)*2=(ABcosRAB)(ABsinRAB)=16*3/10=4.8
另外建立座標系也滿快的

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-2 18:06 編輯 ]

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9.

a0=cos(5pi/12),
4^n(1-an)=4^n(1-cos(5pi/12/2^n))
=2*(2^n*sin(5pi/24/2^n))^2
故所求=2*(5pi/24)^2=25pi^2/288

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-2 18:12 編輯 ]

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10.

使用歸納法
n=k+1時 a(k+2)^2-3a(k+2)a(k+1)+a(k+1)^2
=(3a(k+1)-ak)^2-3(3a(k+1)-ak)a(k+1)+a(k+1)^2
=a(k+1)^2-3a(k+1)ak+ak^2=1
故得證

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8.

B C D=C B D=30度,D B=D C=a/ㄏ3
由拖勒密知6a=a/ㄏ3*(b+c),b+c=6ㄏ3,a=9
a^2=b^2+c^2-bc , 81=36*3-3bc, bc=9
所求=1/2*9*sin60度=9ㄏ3/4

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-3 05:17 編輯 ]

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3. 另解: 原題即證 a + b + c ≥ a²b³c³ + a³b²c³ + a³b³c²

排序不等式

a + b + c

≥ ab³ + bc³ + ca³  (順序和 ≥ 亂序和)

≥ a²b³c³ + a³b²c³ + a³b³c²   (亂序和 ≥ 逆序和)


--------------------------------


另外兩個不知是否能用於教甄的解法:

1. 微微對偶不等式: 取 (a³, b³, c³),(a³, b³, c³),(a², b², c²)

2. Muirhead's 不等式: 取 (8, 0, 0) majorizes (3, 3, 2)


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