如題

x(ㄏ(x^2+1)+1)=(3-x)(ㄏ[(x-3)^2+1)]+1)  , =>x(3-x)>=0 => 0<=x<=3
令A(0,1),B(3,1),C(3,0),P(x,0)  , P在OC 線段上
則OP(PA+1)=PC(PB+1),由圖易知P為OC中點,即 x=1.5

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-5-28 19:27 編輯 ]

請教3要用算幾還是科西還是其他...

只用到算幾，不知是否有誤。

因為 \(a,b,c\in\mathbb{R^{+}},\)

\(\displaystyle \frac{a^8}{8}+\frac{a^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{c^8}{8}+\frac{c^8}{8}+\frac{c^8}{8}\geq 8 \sqrt[8]{\left(\frac{a^8}{8}\right)^2\left(\frac{b^8}{8}\right)^3\left(\frac{c^8}{8}\right)^3}=a^2b^3c^3,\)


\(\displaystyle \frac{a^8}{8}+\frac{a^8}{8}+\frac{a^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{c^8}{8}+\frac{c^8}{8}+\frac{c^8}{8}\geq 8 \sqrt[8]{\left(\frac{a^8}{8}\right)^3\left(\frac{b^8}{8}\right)^2\left(\frac{c^8}{8}\right)^3}=a^3b^2c^3,\)


\(\displaystyle \frac{a^8}{8}+\frac{a^8}{8}+\frac{a^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{c^8}{8}+\frac{c^8}{8}\geq 8 \sqrt[8]{\left(\frac{a^8}{8}\right)^3\left(\frac{b^8}{8}\right)^3\left(\frac{c^8}{8}\right)^2}=a^3b^3c^2,\)


以上三式相加，可得 \(\displaystyle a^8+b^8+c^8 \geq a^2 b^3 c^3 + a^3 b^2 c^3 + a^3 b^3 c^2\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

tanQAB=1/3 => sinRAB=1/ㄏ10, cosRAB=3/ㄏ10
又APR與ABR的面積一樣(同底等高)
故所求=1/2*(AR)(BR)*2=(ABcosRAB)(ABsinRAB)=16*3/10=4.8
另外建立座標系也滿快的

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-2 18:06 編輯 ]

a0＝cos(5pi/12),
4^n(1-an)＝4^n(1-cos(5pi/12/2^n）)
＝2*(2^n*sin(5pi/24/2^n))^2
故所求＝2*（5pi/24）^2＝25pi^2/288

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-2 18:12 編輯 ]

使用歸納法
n＝k+1時 a（k+2）^2-3a（k+2）a（k+1）+a（k+1）^2
＝（3a（k+1）-ak）^2-3（3a（k+1）-ak）a（k+1）+a（k+1）^2
＝a（k+1）^2-3a（k+1）ak+ak^2＝1
故得證

B C D＝C B D＝30度，D B＝D C＝a/ㄏ3
由拖勒密知6a＝a/ㄏ3*（b+c）,b+c＝6ㄏ3,a＝9
a^2＝b^2+c^2-bc , 81＝36*3-3bc, bc＝9
所求＝1/2*9*sin60度＝9ㄏ3/4

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-3 05:17 編輯 ]

3. 另解: 原題即證 a⁸ + b⁸ + c⁸ ≥ a²b³c³ + a³b²c³ + a³b³c²

排序不等式

a⁸ + b⁸ + c⁸

≥ a⁵b³ + b⁵c³ + c⁵a³  (順序和 ≥ 亂序和)

≥ a²b³c³ + a³b²c³ + a³b³c²   (亂序和 ≥ 逆序和)


--------------------------------


另外兩個不知是否能用於教甄的解法:

1. 微微對偶不等式: 取 (a³, b³, c³)，(a³, b³, c³)，(a², b², c²)

2. Muirhead's 不等式: 取 (8, 0, 0) majorizes (3, 3, 2)