發新話題
打印

求解一題 師大附中 97學年度數學學科能力競賽

推到噗浪
推到臉書

求解一題 師大附中 97學年度數學學科能力競賽

15.        已知對於任何非零實數x,均有\(x \cdot f(x) - f(\frac{1}{{1 - x}}) = x\)
,求函數\(f(x) = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\)

求高手幫忙   感恩

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2017-5-31 10:29 編輯 ]

TOP

回復 1# shingjay176 的帖子

請高手補充更好的做法

附件

擷取.PNG (5.14 KB)

2017-5-31 10:41

擷取.PNG

TOP

回復 2# yinchou 的帖子

感謝  我也想到用加減消去法去解   就是不知道變數要怎麼假設

TOP

回復 2# yinchou 的帖子

令g(x)=1/(1-x),則您之所以能用您的方法解出,完全是歸功於g(g(g(x)))=x
              原題目=>  xf(x)-f(g(x))=x       ..................(1)
    令x變成g(x)  , 得g(x)f(g(x))-f(g(g(x)))=g(x) .......(2)
再令x變成g(x)  , 得g(g(x))f(g(g(x)))-f(x)=g(g(x)) ...(3) ,  其中g(g(x))=(x-1)/x
再由上面三個式子
由(1)(3)代入(2)=>1/(1-x)*(xf(x)-x)-(1+x/(x-1)*f(x))=1/(1-x)  => 2x/(1-x)*f(x)=2(1-x)  解出f(x)=1/x
倘若題目改成 xf(x)-f(1/(2-x))=x-1 ..... (A),則您的方法便無法使用,
此時我們可以很 輕鬆的看出f(x)=1/x是原題目跟(A)共同的解
剩下的工作是唯一性(沒有別的解),在此想徵求高手來解答喔! (請順便(A)也解一解,f(x)=1也是解喔) , 謝謝.

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-8 00:54 編輯 ]

TOP

回復 4# laylay 的帖子

laylay老師說的完全正確,因為這組數字以前寫過,剛好有發現這個規律(應該說以前只有學找規律這招),
故貼上以前的做法。自己現在也沒有更好的想法,所以也想請高手補充更好的做法。

TOP

發新話題