如附檔

Part B 第七題
\( (a+b+c)^{2017} \) 的任一項為 \( a^{x} b^{y} c^{z}, x+y+z=2017 \) 的形式 ，因此共有 \( C^{2019}_{2} \)個不同類項。
然而當 y 和 z 兩數是一奇數一偶數時，\( a^{x} b^{y} c^{z} \) 和 \( a^{x} (-b)^{y} (-c)^{z} \) 會互消。
而當 \( x+y+z=2017 \) ，且 y 和 z 是一奇一偶時，\((x, y ,z )\)的奇偶性為 (偶, 奇, 偶) 或(偶, 偶, 奇)；

(1) 若(x, y ,z )為 (偶, 奇, 偶) 時，可令\(x=2p, y=2q+1, z=2r\)，其中\(p,q,r\)為整數，則\(2p+(2q+1)+2r = 2017\)，即\(p+q+r = 1008\)，因此將有 \( C^{1010}_{2} \)個項會消失。
(2) 若\((x, y ,z )\)為 (偶, 偶, 奇) 時， 計算方式同(1) ，結果亦相同。

綜合上述，\( (a+b+c)^{2017} + (a-b-c)^{2017}  \) 會有\( C^{2019}_{2} - 2 C^{1010}_{2} = 2037171- 1019090 = 1018081  \) 個不同項。

填充 B - 7 ( a + b + c ) ²⁰¹⁷+ ( a - b - c ) ²⁰¹⁷  化簡後共有幾項?

解: ( a + b + c ) ²⁰¹⁷+ ( a - b - c ) ²⁰¹⁷ = [ a + (b + c) ] ²⁰¹⁷+ [ a - (b + c) ] ²⁰¹⁷

化簡後剩 (b + c) 取偶次方者 = 1+3+5+...+2017 = 1009² = 1018081 項。

設xyz=k,令f(t)=t^3-3t^2-9t-k,則f(t)=0 三根為x,y,z , f`(t)=3t^2-6t-9=3(t-3)(t+1)
由函數圖形(請自己畫)知
    當x有最大值時-1為f(t)=0的重根=>f(t)=(t+1)^2*(t-5)=>x有最大值=5(此時y=z=-1)
    當x有最小值時 3為f(t)=0的重根=>f(t)=(t-3)^2*(t+3)=>x有最小值=-3(此時y=z=3)


另解:
y+z=3-x
x(y+z)+yz=-9 => yz=-9-x(3-x)=x^2-3x-9
(y-z)^2=(y+z)^2-4yz=(3-x)^2-4(x^2-3x-9)=-3(x+3)(x-5)>=0 => -3<=x<=5  (等號成立時y=z=(3-x)/2)

最近一題兩解有出現,每解只能得一半喔 !

\(y\)，\(z\)是方程式\({{t}^{2}}+\left( x-3 \right)t+\left( {{x}^{2}}-3x-9 \right)=0\)的兩實根

\(\begin{align}
  & {{\left( x-3 \right)}^{2}}-4\left( {{x}^{2}}-3x-9 \right)\ge 0 \\
& -3\le x\le 5 \\
\end{align}\)

另解:

令g(x)=f(x+2015)=ax^2+bx+c
則原式=>  1<=g(-2)= 4a-2b+c <=5.....(1)
3<=g(-1)= a-b+c <=13.....(2)            2<=g(0)=  c  <=8.....(3)
設目標=g(2)=4a+2b+c=p(4a-2b+c)+q(a-b+c)+r(c)
比較係數得 p=3,q=-8,r=6
故最大值=5p+3q+8r=39

請問填充A2,5,7題,謝謝

A-2 題
分成以下情形
(1) 四個 5：1 種
(2) 三個 5：6 種
(3) 二個 5：22 種
(4) 一個 5：54 種
(5) 零個 5：81 種