感謝某匿名網友無私提供的回憶版考題！

108.5.18補充
12.
設\(a,b,c,d \in R,abcd \ne 0\)，且\(a+b+c+d=0\)，則
\(\displaystyle a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{a})+c(\frac{1}{d}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+d(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)之值為　　　。
(Fubini定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9317)

113.6.20補充
6.
設\(\vec{a}=(5,-5,-2),\vec{b}=(2,1,-2),\vec{c}=(2,-2,1)\)，則\(|\;\vec{a}+t\vec{b}+s\vec{c}|\;\)的最小值=　　　。
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957

請教證明第2題

二、計算證明、申論題
2.
設\(p,q\)為大於1的正整數，若\(p>q\)，\(x>0\)；試證\(\displaystyle \frac{x^p-1}{p}\ge \frac{x^q-1}{q}\)。
[解答]
我的做法，寫得滿簡略的。

2.
設\(p,q\)為大於1的正整數，若\(p>q\)，\(x>0\)；試證\(\displaystyle \frac{x^p-1}{p}\ge \frac{x^q-1}{q}\)。
[另證]
令 f(x)=左式-右式 , f`=x^(p-1)-x^(q-1) , 0<x<1 時 f`<0 , f 為遞減
x>1 時 f`>0 , f 為遞增 故f(1)=0為x>0 時 f(x)之最小值=> f(x)>=0
此即x>0時左式>=右式,恆成立,故得證

我剛剛發現我圖2劃錯，應該要像上圖1那樣，不過結果沒差就是了。

請問有強者可以提供答案嗎??

不好意思，想請教填充第一題跟第三題

第 3 題
13個小正方形排列，若要塗上紅、黃、藍三種顏色，並規定每個小正方形恰塗一色，相鄰不同色，則有　　　種塗法。
[解答]
只看九宮格就好，外面的4格，每格都有2種填法

九宮格中間有3種填法

九宮格中間先塗紅
圖 A 的剩餘空格有\({{2}^{4}}\)種填法
圖 B、C、D、E、F、H 的剩餘空格有\({{2}^{2}}\)種填法
圖 G 的剩餘空格有1種填法
由於黃和藍對稱
故九宮格中間塗紅的情形有\(\left( {{2}^{4}}+{{2}^{2}}\times 6+1 \right)\times 2=82\)

所求\(=82\times 3\times {{2}^{4}}=3936\)種

106麗山高中(填充題答案版)。

感謝鋼琴大