106中大壢中

令\(a>0\)，再透過柯西及算幾
\((x^2+y^2+z^2)(\sqrt{2}^2+a^2+1^2)\geq(\sqrt{2}x+ay+z)^2\geq(2\sqrt{ay(\sqrt{2}x+z)})^2=4ay(\sqrt{2}x+z)\)
為了讓兩個不等式等號成立，必須同時滿足\(\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{a}=\frac{z}{1}\)與\(ay=\sqrt{2}x+z\)，又\(z\neq 0\)
因此可解得\(a=\sqrt{3}\)，再代回一開始的不等式就可得到所求的最大值了。