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證明不等式

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證明不等式

請問第一行怎麼知道要加上 81a(1+b)/16 呢?或是請教本題其他證法?感恩

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2017-4-12 17:02

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2017-4-12 17:02

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取a=b=c=1,似乎不等式就不成立了

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這題應該有 a + b + c = 1 的條件。


Q: 怎麼知道要加上 81a(1+b)/16 (與其它類似項) 呢?

A: 首先注意到原不等式在 a = b = c = 1/3 時取等號。現試圖用算幾不等式證明之,所用的式子也應在此條件下可取得等號,才有望成功。

例如: 針對1/a(1+b) 項,想用 a(1+b) 項搭配以用算幾不等式化簡。把 a = b = 1/3 代入兩項,分別得 9/4 與 4/9; 故再把後項配以係數 81/16,才可達到上述要求。若逕用 1/a(1+b) 與 a(1+b),則因等號不能成立,所得到的是一個更小的下界。


Q: 本題其他證法?

A: 用柯西不等式: 原式搭配以 [ a(1+b) + b(1+c) + c(1+a) ] 即可。

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若a+b+c=1,用廣義科西就很簡單了

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2017-4-13 10:40

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感恩以上兩位的說明

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