補充
填充4. 印象中是至少一個位數是9 的機率為 \(P_{n}\)
計算5.(2) 求 \( \sum\limits^{8}_{k=1}{z_{k}^{7}} \)
6.(1)
明顯的 \( a_{n}>0 \)
因為 \(a_{n}=\displaystyle \frac{2a_{n-1}}{3}+\frac{4}{a_{n-1}^{2}} \geq 3\sqrt[3]{ \frac{a_{n-1}}{3}+ \frac{a_{n-1}}{3}+ \frac{4}{a_{n-1}^{2}}}=\sqrt[3]{12}\) (算幾不等式)，
所以數列 \( a_{n}\) 有下界 \( \sqrt[3]{12} \)
\( a_{n}-a_{n-1}=\displaystyle \frac{2a_{n-1}}{3}+ \frac{4}{a_{n-1}^{2}}-a_{n-1}= \frac{12-a_{n-1}^{3}}{3a_{n-1}^{2}} \leq 0 \) (因為 \(a_{n-1}^{3} \geq 12\) )，
所以數列 \(a_{n}\) 為遞減數列
由實數的完備性知道數列 \(a_{n}\) 收斂
6.(2)
設 \( \lim\limits_{n\rightarrow \infty}{a_{n}}=\alpha \)，則 \(\alpha=\displaystyle \frac{2\alpha}{3}+\ \frac{4}{\alpha^{2}}\) 可以解出 \( \lim\limits_{n\rightarrow \infty}{a_{n}}=\alpha=\sqrt[3]{12} \)
3.
設 \( f : ( 2 , \infty )\rightarrow R \)，\(f(x)=\log_{x-1}{x} \)
\(f(x)=\log_{x-1}{x}=\displaystyle \frac{\ln{x}}{\ln{(x-1)}} \)，\(f'(x)= \displaystyle \frac{\frac{1}{x}\times\ln{(x-1)}-\frac{1}{x-1}\times\ln{x}}{[\ln{(x-1)}]^{2}} \)
因為 \([\ln{(x-1)}]^{2}>0 \)，\(0<\displaystyle \frac{1}{x}< \frac{1}{(x-1)} \)，\( 0=\ln{(2-1)}<\ln{(x-1)}<\ln{x} \)，
所以 \( f'(x)<0 \)，因此 \( f(x) \) 為嚴格遞減函數
