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不等式

本主題由 weiye 於 2017-3-19 21:43 移動
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不等式

請問這個不等式該如何推出來呢?感恩

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2017-3-7 15:59

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回復 1# rotch 的帖子

\(\begin{align}
  & {{m}^{2}}+1\ge 2m \\
& 1+{{m}^{2}}\ge \frac{{{\left( m+1 \right)}^{2}}}{2} \\
\end{align}\)

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回復 2# thepiano 的帖子

如果只知道 m>= 1 與不等式的左邊,沒有不等式的右邊,想求出不等式的左邊的最小值,該如何思考呢?

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回復 3# rotch 的帖子

就是配成右邊那樣,不然就想辦法證明它遞增

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回復 4# thepiano 的帖子

OK,感恩您的說明

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回復 3# rotch 的帖子

鑒於原題右式的手法,非我的思維能力所及,故另作嘗試。

想法: 由左式中的 √(1+ m²),聯想到 "冪平均不等式",且分母有 (m+1) 因子配合,應可行。

解: 由 "冪平均不等式",有 √(1+ m²) ≥ (1+ m)/√2,從而:

左式 ≥ [ (m² +1)/m ]*(1/√2)  (至此容易想到再用算幾不等式) ≥ √2

當 m = 1 時取等號。

又,本題可推廣為 m >0 。

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回復 6# cefepime 的帖子

多學一招,感恩您

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m^2+1>=2m
(m^2+1^2)(1^2+1^2)>=(m+1)^2  ,  兩等號都是成立於m=1 時

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回復 8# laylay 的帖子

算幾 + 柯西,感恩

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