已知\(m\ge 1\)，則\(\displaystyle \frac{m^2+1}{m(m+1)}\sqrt{1+m^2}\ge \frac{2m}{m(m+1)}\sqrt{\frac{(m+1)^2}{2}}\)
等號成立於\(m=1\)
請問這個不等式該如何推出來呢？感恩

\(\begin{align}
  & {{m}^{2}}+1\ge 2m \\
& 1+{{m}^{2}}\ge \frac{{{\left( m+1 \right)}^{2}}}{2} \\
\end{align}\)

如果只知道 m>= 1 與不等式的左邊，沒有不等式的右邊，想求出不等式的左邊的最小值，該如何思考呢？

就是配成右邊那樣，不然就想辦法證明它遞增

OK，感恩您的說明

鑒於原題右式的手法，非我的思維能力所及，故另作嘗試。

想法: 由左式中的 √(1+ m²)，聯想到 "冪平均不等式"，且分母有 (m+1) 因子配合，應可行。

解: 由 "冪平均不等式"，有 √(1+ m²) ≥ (1+ m)/√2，從而:

左式 ≥ [ (m² +1)/m ]*(1/√2)  (至此容易想到再用算幾不等式) ≥ √2

當 m = 1 時取等號。

又，本題可推廣為 m >0 。

多學一招，感恩您

m^2+1>=2m
(m^2+1^2)(1^2+1^2)>=(m+1)^2  ,  兩等號都是成立於m=1 時

算幾 + 柯西，感恩