105年文華高中代理教師甄試

謝謝瑋岳老師提供

想請問一下第10題
已知兩定點\( A(1,2,-3) \)，\( B(5,-4,1) \)與一平面\(E\)：\( x-2y+3z-16=0 \)，若\( P \)點在平面\(E\)上，則\(P\)點坐標為　　　時，\( \overline{PA}^2+\overline{PB}^2 \)有最小值。

B點是不是剛剛好在平面上啊@@?
如果B點在平面上的話 那P點是不是也沒辦法求呢 ?

10. A, B 兩點，在哪，沒差

若 A, B 都不在平面  E 上

令 \( A', B' \) 分別為 A, B 對平面 E 的投影點。則 \( \overline{PA}^2 + \overline{PB}^2 = \overline{PA'}^2 + \overline{PB'}^2 +\overline{AA'}^2 +\overline{BB'}^2 \)

由柯西不等式或坐標計算(配方)，皆可得 \( P \) 為 \( \overline{A'B'} \) 中點時，  \( \overline{PA}^2 + \overline{PB}^2 \) 達最小值

填充題 10.
設 M 為 A，B 中點。考慮 ΔPAB (包含退化情形)，利用中線定理，知 P 為 M 在平面 E 的投影點時為所求。

請教填充3還有其他算法嗎？小弟算的方法如下，有錯請指教，謝謝。

如圖，\( ∠BAC=60^{\circ} \)，\( \overline{AD} \)為\(∠BAC\)之角平分線。若\( \overline{AD}=6 \)，\( \overline{AE}=8 \)，則\( \Delta ABC \)之面積為　　　。

填充16還有別的作法嗎？小弟都很偏向硬算XD

填充第 3 題
圖有暗示 △ABD 和 △AEC 相似
AB：6 = 8：AC
AB * AC = 48
△ABC = (1/2) * 48 * sin60度 = 12√3

填充第16題
令\(\overline{CD}=2x\)
\(\begin{align}
  & \Delta BCD=15x=\frac{1}{2}\times \left( 2x+17+\sqrt{{{\left( 2x+8 \right)}^{2}}+{{15}^{2}}} \right)\times \frac{10}{3} \\
& x=6 \\
& \overline{CD}=12,\overline{AD}=20,\overline{AB}=15,\overline{BD}=25 \\
\end{align}\)

第11題

第4題