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105 中山女高(代理)
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發表於 2016-6-23 13:48
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2. 從1, 2, 3, ...,15, 16 等16 個數中任挑五個,其中兩數連續,其餘皆不連續的方法有幾種?
想法: 先放置 (把 2, 1, 1, 1 個數,插入其餘 11 個數形成的間隔),再編號
解: C(4,1) * C(12, 4) = 1980
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發表於 2016-6-23 15:23
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4. 以高二學生能理解的程度,用幾何圖形說明:
(b) 當 0° < θ < 90° 時,a*cosθ + b*sinθ ≤ √ (a² + b²)。
(假定官方題目有 a, b > 0; 若否,另行討論即可)
如上圖,對於兩股長 a, b 的直角△ABC (C 為直角),作 CD 與 CA 夾角 θ,D, E 分別為 A, B 在 CD 上的投影點。
由 BE + AD ≤ AB
⇒ a*cosθ + b*sinθ ≤ √ (a² + b²)
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發表於 2016-6-23 18:12
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3.
方法 1
如上圖,α+β 的 "等值線" 平行 AB 直線。當過 C 的切線平行 AB (且C, O 位於 AB 直線異側),α+β 取最大值。
由 OC = 2*OD,知 α+β 之最大值 = 2。
方法 2
( 為了製造 "α+β" ) 考慮向量內積 OC.(OA + OB) = (α+β) /2
因 |OC|, |OA + OB| 皆定值,故 OC
與 (OA + OB) 夾角 0° 時,α+β 取最大值 = 2*1*1 = 2。
方法 3
利用 "內積" 或 "距離",知 α² + β² - αβ - 1 = 0,現欲求 α+β = t 的最大值。
由 α 之二次方程式 α² + (t - α)² - α(t - α) - 1 = 0 的判別式 ≥ 0,或由 α² + β² - αβ - 1 = 0 是個短軸與 α 軸夾 45°之橢圓 (則 α = β 時,α+β 取最大值),皆得 α+β 之最大值 = 2。
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本帖最後由 cefepime 於 2016-6-23 09:18 PM 編輯
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發表於 2016-6-23 23:29
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4. 以高二學生能理解的程度,用幾何圖形說明:
(b) 當 0° < θ < 90° 時,a*cosθ + b*sinθ ≤ √(a² + b²)。
(假定官方題目有 a, b > 0; 若否,另行討論即可)
由 Ellipse 老師提示的 "面積",構思一個方法。
依據: 四邊形 (無論凹凸) PQRS 面積 = (1/2)*PR*QS*sinφ,這裡 φ 是對角線(或其延長線)之間的一個夾角。
如上圖,對於兩股長 a, b 的直角△ABC (C 為直角),作 CD 與 CA 夾角 θ,而與 AB 夾角 φ,CD = d。
四邊形 ACBD 面積 * (2/d) =
a*cosθ + b*sinθ
= [√(a² + b²)]*sinφ
≤ √(a² + b²)
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發表於 2016-6-24 23:56
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對於第 5 題的感想:
因為題目對於某些 "前提" 的敘述上有不夠明確之處,以至於可能因題意解讀不同,而對答案產生歧見 (這在 "機率題" 時有所見)。本題因為要求計算機率 (而非只是問 "何種選擇較有利"),所以更需要把一些 "前提" 交代清楚。
Monty Hall 問題有個重要的前提 (尤其是要計算機率時,它更是必要的):
主持人 (或本題中的公主) 知道每個門的結果
。
如果沒有表明此點,尚可以討論 "何種選擇較有利",但 "計算機率" 則會有疑義。
我猜想,本題的答案卷大致有三種答案:
1. 1/2 -- 答題者認為題目的敘述: "異教徒首先選了一號門,而此時公主覺得異教徒可憐,...",暗示了一號門後也是獅子。
2. 1/3 -- 答題者認為 "公主只知道四號門後面有獅子"。
3. 3/8 -- 答題者認為 "公主知道每個門後面是什麼,但只能暗示一個有獅子的門"; 或者答題者熟悉 Monty Hall 問題,並依此揣摩命題者心思。
個人愚見是,本題因為沒有闡明 "公主是否知道所有門的情形" 並要求計算機率,是個有疑義的題目。
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