一、期望值的定義
\(EX=\sum_{x=-\infty}^{\infty}xPr[X=x] \)
其中 Pr[X=x]意為「隨機變數X的值等於x時的機率」
同樣地,
\( E(X+Y)=\sum_{x,y=-\infty}^{\infty}(x+y)Pr[X=x且Y=y]\)
\(E(XY) = \sum_{x,y=-\infty}^{\infty} xyPr[X=x,Y=y]\) (且字有時就省了)
二、關鍵的關係式
\(\sum_{y=-\infty}^{\infty}Pr[X=x且Y=y]=Pr[X=x] \)
\(\sum_{x=-\infty}^{\infty}Pr[X=x且Y=y]=Pr[Y=y] \)
理由非常簡單, 當我們固定X的值為x, 而把所有可能的Y值的機率都加起來, 那就當然是X=x的機率
三、期望值是可加的 (無須任何條件)
\(E(X+Y) = \sum_{x,y=-\infty}^{\infty} (x+y)Pr[X=x且Y=y]\\=\sum_{x,y=-\infty}^{\infty} xPr[X=x且Y=y] +\sum_{x,y=-\infty}^{\infty}yPr[X=x且Y=y]\\=\sum_{x=-\infty}^{\infty}x\sum_{y=-\infty}^{\infty} Pr[X=x且Y=y] +\sum_{y=-\infty}^{\infty}y\sum_{x=-\infty}^{\infty}Pr[X=x且Y=y]\\=\sum_{x=-\infty}^{\infty}xPr[X=x] + \sum_{y=-\infty}^{\infty}yPr[Y=y]\\=EX+EY\)
四、當獨立的時候, 期望值是可乘的
X和Y為獨立隨機變數的定義為: Pr[X=x且Y=y]=Pr[X=x]Pr[Y=y]
\(E(XY) = \sum_{x,y=-\infty}^{\infty} xyPr[X=x,Y=y]\\= \sum_{x,y=-\infty}^{\infty} xyPr[X=x]Pr[Y=y]\\=\sum_{x=-\infty}^{\infty} xPr[X=x] \sum_{y=-\infty}^{\infty}yPr[Y=y]\\=EXEY\)
五、var是可加的
只要引用「三」「四」的結論即可証出
[ 本帖最後由 haozhen 於 2016-5-14 06:24 PM 編輯 ]
