請教104年高中數學學科能力測驗三題
104嘉義區複賽試題(一)
一、\(\Delta ABC\)的\(∠ACB\)的分角線交\(\overline{AB}\)於\(P,A_1,B_1\)分別為\(A,B\)對分角線\(\overline{CL}\)的對稱點，\(A_2,B_2\)分別為\(A,B\)對點\(P\)的對稱點，\(O_1,O_2\)分別為\(\Delta AB_1B_2,\Delta BA_1A_2\)的外心，證明\(∠O_1CA=∠O_2CB\)。
二、已知\(a,b,c\)都是正實數且\(a+b+c=3\)，證明\( \displaystyle \frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2}\le \frac{3}{4} \)。
三、
(a)若\(x,y,s\)為實數，求證\([sx+(1-s)y]^2=sx^2+(1-s)y^2-s(1-s)(x-y)^2\)。
(b)若\( f:R \rightarrow R \)為一函數且對所有實數\(x,y\)，不等式\( |\; f(x)-f(y) |\; \le |\;x-y |\; \)均成立。已知實數\(u,v\)滿足\(f(u)=u,f(v)=v\)，求證對所有\(0\le t \le 1\)，\(f(tu+(1-t)v)=tu+(1-t)v\)。
麻煩大家給我一些提示，謝謝！
