證明16的倍數和費波那契數列問題

1.
令n=2m-1，其中m為正整數，則
(n^2+6n-3)(n+3) = [(2m-1)^2+6(2m-1)-3][(2m-1)+3] = [4m^2+8m-8][2m+2] = 8(m^2+2m-2)(m+1) = 8(m^3+3m^2-2)，所以只要再證明(m^3+3m^2-2)恆為偶數即可。
當m=1時，1^3+3*1^2-2=2為偶數，成立。
設當m=k時成立，即k^3+3k^2-2≡0 (mod 2) → k^3+k^2≡0 (mod 2) → 根據費馬小定理，k^2≡k (mod 2)，故k^3+k≡0 (mod 2) → k^3≡-k (mod 2).......甲
當m=k+1時，
(k+1)^3+3(k+1)^2-2
≡k^3+6k^2+9k+2
≡k^3+k
≡-k+k.....將甲式代入
≡0 (mod 2)
故m=k+1時亦成立。
根據數學歸納法的原理，原式恆成立。