填充2
擲ㄧ公正的骰子兩次，若\( a、b \)分別表示第一次及第二次出現的點數，則直線\( x-y+1=0 \)與圓\( (x-a)^2+(y-b)^2=2 \)有交點的機率為　　　。
[解答]
直線與圓相交，則圓心到直線距離小於或等於半徑
得|a-b+1| <= 2，即可求出所有(a,b)


填充7
設四面體\( OABC \)中，\( \vec{OA},\vec{OB},\vec{OC} \)兩兩垂直，若\( \overline{OA}=4 \)，\( ∠BAC=60^{\circ} \)，試求\( \Delta ABC \)的面積？
[解答]
不失一般性，設A(4,0,0) B(0,b,0) C(0,0,c)
|AB||AC|cos60度 = AB內積AC =16
得|AB||AC|=32
三角形ABC面積= 1/2 * 根號[|AB|^2|AC|^2-(AB內積AC)^2]

計算1
已知\((\sqrt{3}+\root 4 \of 5)^{21}\)展開後有21項：
(1)試求共有多少項為無理數？
(2)若從展開後的這21項中任取3項，令隨機變數X表示取出的3項中為有理數的項數，試求X的期望值？
[解答]
期望值\( = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3) \)
　　　\( \displaystyle =1 \cdot \frac{C_2^{15}\cdot C_1^6}{C_3^{21}}+2 \cdot \frac{C_1^{15}\cdot C_2^6}{C_3^{21}}+3 \cdot \frac{C_0^{15} \cdot C_3^6}{C_3^{21}} \)
　　　\(\displaystyle =\frac{6}{7}\)

解二
先算取單項的期望值，再乘以3
\( \displaystyle 1 \cdot \frac{6}{21} \cdot 3=\frac{6}{7} \)