發財數這題
小於1000的發財數有\(H_{8}^{3}=45\)個
千位是1的四位發財數有\(H_{7}^{3}=36\)個
第82個發財數是2006
第83個發財數是2015
所求是第\(83\times 6=498\)個發財數

小於100000的發財數有\(H_{8}^{5}=495\)個
第496個發財數是100007
第497個發財數是100016
第498個發財數是100025



四邊形OABC最大面積那題
答案是當\(\angle AOC=\frac{5}{6}\pi \)時，OABC有最大面積\(3+\frac{5}{2}\sqrt{3}\)

第1題
要證明\(f\left( 4 \right)=64+16p+4q+8\ge 216\)，即證明\(4p+q\ge 36\)
由於\(p>0,q>0\)，易知\(f\left( x \right)={{x}^{3}}+p{{x}^{2}}+qx+8=0\)的三實根均為負
設三根為\(a,b,c\)，則
\(\begin{align}
  & p=\left( -a \right)+\left( -b \right)+\left( -c \right)\ge 3\sqrt[3]{\left( -a \right)\left( -b \right)\left( -c \right)}=3\sqrt[3]{8}=6 \\
& q=ab+bc+ca\ge 3\sqrt[3]{{{\left( abc \right)}^{2}}}=3\sqrt[3]{{{\left( -8 \right)}^{2}}}=12 \\
& 4p+q\ge 36 \\
\end{align}\)

第2題
\(\begin{align}
  & a={{4}^{t}},b={{10}^{t}},a+3b={{25}^{t}} \\
& {{4}^{t}}+3\times {{10}^{t}}={{25}^{t}} \\
& 1+3\times {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{t}}={{\left( \frac{25}{4} \right)}^{t}}={{\left( \frac{5}{2} \right)}^{2t}} \\
& {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{2t}}-3\times {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{t}}-1=0 \\
& \frac{b}{a}={{\left( \frac{5}{2} \right)}^{t}}=\frac{3+\sqrt{13}}{2} \\
&  \\
& \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{ab}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{2}{3+\sqrt{13}}+\frac{3+\sqrt{13}}{2}=\sqrt{13} \\
& {{\log }_{169}}\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{ab}=\frac{1}{4} \\
&  \\
\end{align}\)