引用:
原帖由 johncai 於 2015-5-9 02:14 PM 發表 
雖然沒考到
還是放上來討論一下^^
填2: (秒殺題)
求\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n \sqrt{n^2-k^2}=\)
。
[解答]
原式=∫ {0 to 1} (1-x^2)^0.5 dx
所求=半徑1的圓面積*(1/4)
=Pi/4
計算1 :
(1)試將\(a^3+b^3+c^3-3abc\)因式分解。
(2)設\(a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)由(1)之結果，證明\(\displaystyle \frac{a+b+c}{3}\ge \root 3 \of{abc}\)。
(3)設\(a>0\)，\(b>0\)，\(c>0\)且\(a+b+c=18\)，由(2)之結果，試求出\((a+1)(b+2)(c+3)\)之最小值及此時之\(a\)，\(b\)，\(c\)之值。
[解答]
(1)a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
法1:行列式法
參考10樓
(2)a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=(a+b+c)(1/2)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]>=0
所以a^3+b^3+c^3>=3abc
(a^3+b^3+c^3)/3>=abc----------(*)
令A=a^3 ,B=b^3 ,C=c^3 代入(*)
(3) [(a+1)+(b+2)+(c+3)]/3 >=[(a+1)(b+2)(c+3)]^(1/3)
.....
計算2:
\(\Delta ABC\)中，若\(\overline{BC}^2-\overline{AB}^2=\overline{AC}\times \overline{AB}\)，\(∠C=\)？
[提示]
考古題(97中一中)
角C=(180度-54度)/3 =42度
計算3:
若\(x\)、\(y\)、\(z\)都是正數且滿足\(\displaystyle x+\frac{1}{y}=4\)，\(\displaystyle y+\frac{1}{z}=1\)，\(\displaystyle z+\frac{1}{x}=\frac{7}{3}\)，求\(xyz\)的值？
[解答]
x+1/y=4------------(1)
y+1/z=1------------(2)
z+1/x=7/3---------(3)
(1)*(2)*(3)
(x+1/y)(y+1/z)(z+1/x)=xyz+1/(xyz)+x+1/y+y+1/z+z+1/x=28/3
[令t=xyz]
t+1/t+4+1+7/3=28/3
解得t=xyz=1
