令 C(n) 表示正整數 n 的質因數個數。(例如 C(10)=2、C(11)=1、C(12)=2。)
(2)如果還另外要求 C(a+b)>1000，則滿足 C(a+b) = C(a) + C(b) 的正整數對 (a,b) 為有限多對還是無限多對？
試解 (有錯敬請指正):
1. 考慮最小的 501 個質數，令其乘積 = P，則 C(P-1) < 501。
2. 取相異於最小的 501 個質數及 (P-1) 的質因數的 "501 - C(P-1)" 個相異質數，令其乘積 = N。
3. 令 a = (P-1)*(P-1)*N，則 C(a) = 501，b = (P-1)*N，則 C(b) = 501。
4. a + b = P*(P-1)*N，注意到 P 與 (P-1)*N 互質，則 C(a+b) = 501 + 501 = C(a) + C(b) >1000。
5. 以上構造了一組滿足 C(a+b) >1000 且 C(a+b) = C(a) + C(b) 的相異正整數對 (a,b)。
6. 由於步驟 2 有無限多種取法，或步驟 3 可對 N 冠以任意正整數指數(但a，b要同步調整)，故滿足題意之正整數對 (a,b) 為無限多對。
7. 依此類推，無論給予 C(a+b) 任何下界，滿足題意之正整數對 (a,b) 皆有無限多對。
[ 本帖最後由 cefepime 於 2014-6-22 01:23 PM 編輯 ]
