先證明A、B、 \( I_1 \) 、 \( I_2 \) 共圓
令三角形ABC的內心為 \( I \)
因為三角形AFE和ABC相似,且相似比為 \( \cos{A} \)
令 \( r_1 \) 、 \( r \) 分別為三角形AFE和ABC的內切圓半徑
那麼 \(\displaystyle r_1=r\cos{A} \)
\(\displaystyle IA=\frac{r}{\sin{\frac{A}{2}}} \)
\(\displaystyle I_1A=\frac{r_1}{\sin{\frac{A}{2}}}=\frac{r\cos{A}}{\sin{\frac{A}{2}}} \)
\(\displaystyle II_1 \times IA=\frac{r^2(1-\cos{A})}{\sin^2{\frac{A}{2}}}=2r^2 \)
同理 \(\displaystyle II_2 \times IB=2r^2 \)
故結論成立
所以若 \( I_3 \) 為三角形CDE的內心,那麼 \( C、I_3、I_1、A \) 以及 \( C、I_3、I_2、B \) 共圓
所以 \( O_1O_2 \) 和 \( CI_3 \) 垂直
又 \( \angle{II_1I_2}=\angle{IBA}=\frac{1}{2}\angle{ABC} \) 且 \( \angle{I_1II_3}=90^o+\frac{1}{2}\angle{ABC} \)
所以\( I_1I_2 \) 和 \( CI_3 \) 垂直
故得證
[ 本帖最後由 lyingheart 於 2014-6-18 05:21 PM 編輯 ]