2.
在底面半徑為6的圓柱內，有兩個半徑也為6的球面，其球心相距20。若作一平面與這兩球面相切，且與圓柱體相交成一橢圓，則此橢圓的長軸為　　。
[解答]
長軸長等於球心距

在底面半徑為6的圓柱內，有兩個半徑也為6的球面，其球心距為13。今有一平面與這兩球面相切，且與圓柱面相交成一橢圓，則這個橢圓的長軸與短軸長之和為　　。
(99中正高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=981&page=3#pid4693)



3.
某班有10位學生，投票表達其較喜歡英文老師或數學老師，每人一票且必須投給一位老師，不能兩位老師都選或都不選。開票時，逐一開票。假設，每位學生投給老師的機率均為\( \displaystyle \frac{1}{2} \)。請問，在數學老師的總得票數為6票之條件下，數學老師的得票數在開票過程中，一路領先於英文老師的得票數之機率為　　？
[公式]
\( \displaystyle \frac{6-4}{6+4}=\frac{1}{5} \)


13.
求兩圓柱體\( x^2+y^2 \le 1 \)與\( x^2+z^2 \le 1 \)所共有部份體積是　　。

求計算\( x^2+y^2\le 1 \)，\( y^2+z^2\le 1 \)之共同部分體積
(98彰化女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=1#pid1312)



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計算1.
\( \Delta ABC \)中，設\( \overline{BC} \)，\( \overline{AC} \)，\( \overline{AB} \)邊上的高分別為\( h_a \)，\( h_b \)，\( h_c \)，內接圓半徑為r。試證：\( h_a+h_b+h_c \ge 9 r \)
[證明]
\( \displaystyle \Delta=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a=\frac{1}{2} \cdot (a+b+c) \cdot r \)，得\( \displaystyle h_a=\frac{a+b+c}{a}r \)

同理\( \displaystyle h_b=\frac{a+b+c}{b}r \)，\( \displaystyle h_c=\frac{a+b+c}{c}r \)

\( \displaystyle h_a+h_b+h_c=r(a+b+c) \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) \ge 9 r \)

引用:

原帖由 瓜農自足 於 2014-6-17 02:08 PM 發表
想請問平面截圓柱圖是什麼軟體作出來的
謝謝版主！

那時候急著發表文章，是從網路上找到的
http://blog.zacharyabel.com/2012/10/what-makes-ellipses-ellipses/

教甄還沒考過特徵值相同的矩陣n次方，希望明年命題老師可以考慮看看。

5.
設\( I=\left[ \matrix{1 & 0 \cr 0 & 1} \right] \)，\( N=\left[ \matrix{1 & 1 \cr -1 & -1} \right] \)，求\( (2I-N)^{103}= \)？
[解答]
\( A=2I-N=\left[ \matrix{1 & -1 \cr 1 & 3} \right] \)
1.求特徵值
\( \left| \matrix{1-\lambda & -1 \cr 1 & 3-\lambda} \right| =0 \)　，　\( (\lambda-2)^2=0 \)　，　\( \lambda=2,2 \)特徵值重根

2.求特徵向量
\( \lambda=2 \)代入
\( \left[ \matrix{-1 & -1 \cr 1 & 1} \right] \left[ \matrix{x \cr y} \right]=\left[ \matrix{0 \cr 0} \right] \)　，　\( x+y=0 \)，取\( \left[ \matrix{x \cr y} \right]=\left[ \matrix{-1 \cr 1} \right] \)

\( \lambda=2 \)代入
\( \left[ \matrix{-1 & -1 \cr 1 & 1} \right] \left[ \matrix{x \cr y} \right]=\left[ \matrix{-1 \cr 1} \right] \)　，　\( x+y=1 \)，取\( \left[ \matrix{x \cr y} \right]=\left[ \matrix{1 \cr 0} \right] \)

3.形成P矩陣
設\( P=\left[ \matrix{-1 & 1 \cr 1 & 0} \right] \)，\( P^{-1}=\left[ \matrix{0 & 1 \cr 1 & 1} \right] \)

4.計算\( D=P^{-1}AP \)，這時候\( D \)不會是對角矩陣
\( D=\left[ \matrix{0 & 1 \cr 1 & 1} \right] \left[ \matrix{1 & -1 \cr 1 & 3} \right] \left[ \matrix{-1 & 1 \cr 1 & 0} \right]=\left[ \matrix{2 & 1 \cr 0 & 2} \right] \)
\( D^n=\left[ \matrix{2^n & n 2^{n-1} \cr 0 & 2^n} \right] \)，(這似乎只能硬乘來觀察規律)

5.求\( A \)的n次方
\( A^n=PD^nP^{-1}=\left[ \matrix{-1 & 1 \cr 1 & 0} \right] \left[ \matrix{2^n & n 2^{n-1} \cr 0 & 2^n} \right] \left[ \matrix{0 & 1 \cr 1 & 1} \right]=\left[ \matrix{-(n-2)2^{n-1} & -n 2^{n-1} \cr n 2^{n-1} & (n+2)2^{n-1}} \right] \)
\( A^{103}=2^{102} \left[ \matrix{-101 & -103 \cr 103 & 105} \right] \)

其實我是用maxima算的，更多類題請看https://math.pro/db/viewthread.php?tid=709&page=2#pid2620