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觀察第一個括號的和為\(\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}\)
第二個括號開始，有兩類的項：
(1) \({{\left( \frac{1}{k} \right)}^{2}}\) 有 k 項, 和為\(\sum\limits_{k=1}^{n}{k{{\left( \frac{1}{k} \right)}^{2}}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}\)
(2) \(2\cdot \frac{1}{i}\cdot \frac{1}{j},1\le i<j\le n\) 有 \(i\) 項, 和為 \(2\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=i+1}^{n}{i\left( \frac{1}{i}\cdot \frac{1}{j} \right)}}=2\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=i+1}^{n}{\frac{1}{j}}}=2\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( \frac{1}{i+1}+\frac{1}{i+2}+\ldots +\frac{1}{n} \right)}\)
所求總和為
\(2\left( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( \frac{1}{i+1}+\frac{1}{i+2}+\ldots +\frac{1}{n} \right)} \right)=2\left( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}+\sum\limits_{k=2}^{n}{\frac{1}{k}}+\sum\limits_{k=3}^{n}{\frac{1}{k}}+\ldots +\sum\limits_{k=n}^{n}{\frac{1}{k}} \right)=2n\)
[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-14 11:43 PM 編輯 ]
