高中數學資優題
想請問這兩題該怎麼解？
7.
方程式\( x^3-6x^2+3x+1=0 \)的三根\( \alpha,\beta,\gamma \)都是實數。
(i)試求出\( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3 \)的值；
(ii)試求出\( (\alpha^2+1)(\beta^2+1)(\gamma^2+1) \)的值；
(iii)已知\( \alpha,\beta,\gamma \)滿足\( \displaystyle \left| \frac{\beta}{\alpha} \right|<1<\gamma \)，試求出\( \displaystyle \frac{\beta}{\alpha} \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \left( -\frac{\beta}{\alpha} \right)^k \right] \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \left( -\frac{\alpha}{\gamma} \right)^k \right] \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \left( -\frac{\beta}{\gamma} \right)^k \right] \)的值。
8.
已知實數\( x,y,z \)滿足\( (x+y+z)(y+z)(z+x)(x+y) \ne 0 \)且\( \displaystyle \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0 \)。試求
(i)\( \displaystyle \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \)的值；
(ii)\( \displaystyle \frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy} \)的值。
