1.
若z為複數，且滿足\( \displaystyle z+\frac{1}{z}=1 \)，則\( \displaystyle z^{103}+\frac{1}{z^{103}}= \)
。
[公式]
若\( \displaystyle z+\frac{1}{z}=2 cos \theta \)，則\( \displaystyle z^n+\frac{1}{z^n}=2cos n \theta \)
6.
設a,b,c三數滿足\( \cases{a+b+c=4 \cr a^2+b^2+c^2=12 \cr a^3+b^3+c^3=31} \)且\( a>b>c \)，令\( f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=0 \)，則序組\( (a,b,c)= \)
。
(我的教甄準備之路 利用根與係數的關係解聯立方程式，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1076)
10.
點光源O將\( \overline{AD} \)投影到\( \overline{A'D'} \)，且\( \overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=1 \)，若\( \overline{A'B'}=3 \)，\( \overline{B'C'}=5 \)，則\( \overline{C'D'}= \)
。
\( \overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=1 \)，\( \overline{EF}=2 \)，\( \overline{FG}=3 \)，則\( \overline{GH}= \)
。
連結有解答
(97師大附中二招，
https://math.pro/db/thread-703-1-1.html)
11.
在ΔABC中，\( \overline{AC}=5 \)、\( \overline{AB}=7 \)、\( \overline{BC}=8 \)，P為任意一點，則\( \overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC} \)的最小值為
。
[公式]
當P為ΔABC的重心時有最小值，\( \displaystyle \overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2=\frac{1}{3}(\overline{AB}^2+\overline{BC}^2+\overline{CA}^2) \)
12.
已知銳角三角形的三高交點為垂心，而此垂心是三個垂足點所成三角形的內心。在ΔABC中，\( \overline{AD}⊥\overline{BC} \)，\( \overline{BE}⊥\overline{AC} \)，\( \overline{CF}⊥\overline{AB} \)，且\( \overline{AC}=5 \)、\( \overline{AB}=7 \)、\( \overline{BC}=8 \)，則ΔDEF之周長為
。
[公式]
\( \displaystyle \frac{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{2abc} \)
公式的證明
http://www.nhjh.cy.edu.tw/group1 ... t/100/math10003.pdf
13.
在坐標平面上有五個點\( P_1(1,1) \)、\( \displaystyle P_2(2,\frac{1}{2}) \)、\( \displaystyle P_3(3,\frac{1}{3}) \)、\( \displaystyle P_4(4,\frac{1}{4}) \)、\( \displaystyle P_5(5,\frac{1}{5}) \)。
(1)請用拉格朗日(Lagrange)插值法找一個四次函數\( y=f(x) \)通過上述五個點來估計\( f(6) \)的值為
。
[解答]
我用差分來做
\( \displaystyle \matrix{f(1) & & f(2) & & f(3) & & f(4) & & f(5) & & f(6) \cr
1 & & \frac{1}{2} & & \frac{1}{3} & & \frac{1}{4} & & \frac{1}{5} & & \frac{1}{3} \cr
& -\frac{1}{2} & & -\frac{1}{6} & & -\frac{1}{12} & & -\frac{1}{20} & & \frac{2}{15} & \cr
& & \frac{1}{3} & & \frac{1}{12} & & \frac{1}{30} & & \frac{11}{60} & & \cr
& & & -\frac{1}{4} & & -\frac{1}{20} & & \frac{3}{20} & & & \cr
& & & & \frac{1}{5} & & \frac{1}{5} & & & & } \)
計算2(1)
給定正五邊形ABCDE，\( \overline{AB}=1 \)，則由五對角線所圍成正五邊形PQRST的面積是正五邊形ABCDE的面積的幾倍？(化成最簡比)
連接正五邊形ABCDE的五條對角線，圍成一個較小的正五邊形FGHIJ，在繼續作五條對角線再圍成更小的正五邊形，如灰色區域。若灰色區域的邊長為1，則正五邊形ABCDE的面積為灰色面積的\( \Phi^k \)倍，則\( k= \)
。\( \displaystyle \Phi=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \)
(100楊梅高中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1162&page=2#pid4463)
[
本帖最後由 bugmens 於 2014-6-7 08:12 PM 編輯 ]
