回復 2# Ellipse 的帖子
填充 4. 橢圓兄的作法,背後隱藏了不少東西, 值得揣摩一番,要補上些什麼?才可以解釋清楚這些算式所得到的結果,就是答案呢?
原因就留給大家自行思考了
再來補充一個解法:假設 \( (x_1, y_1), (x_2, y_2) \) 是弦的兩端點,弦中點的坐標記為 \( (\alpha, \beta) \),
則 \( \displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{9}+\frac{y_{1}^{2}}{4}=36, \frac{x_{2}^{2}}{9}+\frac{y_{2}^{2}}{4}=36 \)
兩式相減,再利用平方差因式分解可得 \( \displaystyle \frac{x_{1}-x_{2}}{9}\cdot2\alpha+\frac{y_{1}-y_{2}}{4}\cdot2\beta=0\Rightarrow\alpha= - \frac{9}{4}\cdot\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\beta= - \frac{9}{2}\beta \)
故弦中點落在直線 \( 2x + 9y = 0 \),顯然弦中點只能在橢圓內,故軌跡為一線段(公告答案有誤)
應再加上條件 \( |y| < \frac{2}{\sqrt{10}} \) 或以參數式表示之 \( \begin{cases}
x & =9t\\
y & = -2t
\end{cases},\, t\in \displaystyle (\frac{-1}{\sqrt{10}}, \frac{1}{\sqrt{10}}) \)
(感謝 hua0127 提醒負號及端點,一直算錯,再修正)
[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-11 10:35 PM 編輯 ]