若\(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)，試證明\(\displaystyle \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{(a+b+c)^n}\)

n 應為奇數

同乘以\(abc\)，可整理並分解成\(\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)=0\)

故\(a+b,b+c,c+a\)必至少有一為0

\({{a}^{n}}+{{b}^{n}},{{b}^{n}}+{{c}^{n}},{{c}^{n}}+{{a}^{n}}\)必至少有一為 0

......

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=\frac{\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)}{abc\left( a+b+c \right)}=0\) 可推知
\(a,b,c\) 至少有兩數互為相反數，
請問條件中的n是否需為正奇數？因為結論中偶數好像不一定合

考慮\(\left( a,b,c \right)=\left( 1,-1,1 \right)\), 則 \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\) 但是
\(\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\ne \frac{1}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}\)

鋼琴老師的式子簡潔有力!! n應為奇數應該就可以了，小弟也做個修正

三個異於1的正數\(a,b,c\)，其\(log_a 10+log_b 10+log_c 10=log_{abc}10\)，求\((abc)^4-(abc)^2(a^2+b^2+c^2)+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\)　　　。
這題也用到類似關係式,有興趣的人可試試