記憶很模糊,盡量想了...還缺三題
數據可能有問題,題目描述可能也有缺漏
麻煩其他有應考的老師們一起修正吧

感謝m4su6提供兩題題目
已知\( \displaystyle \theta=\frac{2\pi}{27} \)，則\( 1+2cos \theta+3 cos 2 \theta+4 cos 3 \theta+\ldots+27 cos 26 \theta= \)　　　。

請用二種方法解出\( \displaystyle f(x)=\frac{cosx}{2+sin x} \)之最大值。

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[ 本帖最後由 小蝦米 於 2014-6-1 08:33 PM 編輯 ]

第 6題
95台中一中和102景美女中考過

第5題
102松山工農

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-11 01:50 PM 編輯 ]

大家的考題，都是互相觀摩來觀摩去。可見考古題重要性真的很高。

第2題
好像是用二元的算幾證明三元的算幾
可借道四元的算幾

填1:考古題
填5:仿指考考題

第2題的算幾不等式，也有不借道的方法

學科中心有一篇 吳建生、張海潮的文章有關算幾不等式的簡單證明

方法比較直覺，大致上，就是把數字往平均慢慢調，保持平均不變，乘積會遞增，調到最後，所有數都相等，而得

\( \displaystyle \prod_{i=1}^n a_i \leq \mu^n \)，其中 \( \mu = \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n} \)

開 \( n \) 根號得 \( \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1\times a_2 \times \cdots \times a_n} \)

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-5-11 01:56 PM 發表
第2題
好像是用二元的算幾證明三元的算幾
可借道四元的算幾

共有幾種方法呢?
法1:科西不等式
a,b,c>0
(a²+b²+c²)*(b²+c²+a²)>=(ab+bc+ca)²   (科西不等式)
得(a²+b²+c²)>=(ab+bc+ca)----------------(1)
又(a+b+c)²
>=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)
>=3(ab+bc+ca)  by(1)
所以(a+b+c)^3>=3(a+b+c)*(bc+ca+ab)
>=3[√abc+√abc+√abc]²=27abc   (科西不等式)
可得(a+b+c)/3 >= (abc )^(1/3)

法2:歸納法

法3:微分法

法4:琴生不等式

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-11 03:26 PM 編輯 ]

我個人最喜歡的是用ln(x)為凹函數(加負號的琴生不等式)：
\[\ln \left( \frac{x+y+z}{3} \right)\ge \frac{1}{3}\left( \ln x+\ln y+\ln z \right)\]
(也適用於n個的情況)
但三個的算幾也可以這樣做：

分析：
\({{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz=\left( x+y+z \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\left( xy+yz+zx \right) \right)\)
\(\text{=}\frac{1}{2}\left( x+y+z \right)\left( {{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( y-z \right)}^{2}}+{{\left( z-x \right)}^{2}} \right)\ge 0\), 故
\({{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}\ge 3xyz=3\sqrt[3]{{{x}^{3}}{{y}^{3}}{{z}^{3}}}\)
做變數變換並且改寫一下說明的順序即可
(注意這邊所有的變數都是正數)

剛好還有印象其它兩題題目，但不太會用語法打字，就拍照上傳，並想問第一題，謝謝。



幫忙打字
已知\( \displaystyle \theta=\frac{2\pi}{27} \)，則\( 1+2cos \theta+3 cos 2 \theta+4 cos 3 \theta+\ldots+27 cos 26 \theta= \)　　　。

請用二種方法解出\( \displaystyle f(x)=\frac{cosx}{2+sin x} \)之最大值。

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-6-21 08:13 AM 編輯 ]

請用二種方法解出f(x)=cosx/(2+sinx)之最大值。
法1:
令P(sinx,cosx) ,A(-2,0)
即求PA斜率之最大值
(如附件圖)

法2:
令cosx/(2+sinx) =k
整理疊合,找振幅範圍
可求出k範圍~

法3:
令cosx=(1-t^2)/(1+t^2) ,sinx=2t /(1+t^2) 代入f(x)
寫成t函數,微分求最大值~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-11 09:02 PM 編輯 ]