發新話題
打印

103中正高中

引用:
原帖由 GGQ 於 2014-5-11 01:52 AM 發表
好像還少一題,印象中是填充最後一題

化簡   (1+sin6度-cos12度) / (cos6度+sin12度) =?

在此提供我算出的答案參考 ( tan6度)    (不保證對喔,僅個人演練之)
對啦! 要對自己有信心~
填5:  20√5/ 7
填6:  49π/3

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-11 11:17 AM 編輯 ]

TOP

計算4
答:5π/2 或9π/2

附件

餘弦的根.png (286.52 KB)

2014-5-11 12:07

餘弦的根.png

TOP

引用:
原帖由 kittyyaya 於 2014-5-16 09:48 PM 發表


請問橢圓老師
由圖中,如何得知答案是5π/2 或9π/2
我代特殊值 只得到9π/2
可否請老師解說
謝謝
另一種情況如附件
由圖形的對稱性知四根和為
(π/8 -k)+(π/8 +k)+(π+π/8 -k)+(π+π/8 +k)
=5π/2

附件

餘弦的根2.png (281.3 KB)

2014-5-17 10:21

餘弦的根2.png

TOP

引用:
原帖由 thepiano 於 2014-5-18 07:41 AM 發表
測試輸入方程式

計算第 1 題
利用 \({{x}^{2}}-x+1=\frac{{{x}^{3}}+1}{x+1}\)

分別設
\(\begin{align}
  & a=x+1,x=a-1 \\

& b={{x}^{3}}+1,x=\sqrt[3]{b-1} \\
\end{align}\)
代入原式

所求 = 常數項相除 = ...
這題98師大附中有考過
而且數據一模一樣~
當初小弟用的方式還有點複雜
不過看到鋼琴兄現在寫得很精簡
是否再解釋清楚點? thks~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-18 09:42 AM 編輯 ]

TOP

計算1:另解
令f(x)=x^12+7x^11+1-----------(*1)
先將(x²-x+1)乘以(x+1)
令(x+1)(x²-x+1)=0 ,x^3= -1-------------(*2)
假設w=(1+√3i)/2 , -w²=(1-√3i)/2 為(*2)兩根
將x^3= -1代入(*1)  , (x^3)^4 + 7*(x^3)^3*x²+1
化簡得2-7x²
所求=(2-7w²)[2-7(-w²)²]=(2-7w²)(2+7w)
=4+14(-w²+w)-49w^3   (w²-w+1=0 , -w²+w=1)
=4+14+49=67

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-18 10:09 PM 編輯 ]

TOP

引用:
原帖由 hua0127 於 2014-5-18 01:29 PM 發表
這題是三角函數的化簡名題,我記得(應該說是看過XD我自己是想不到)
的作法應該就是wrty2451兄的做法:

\(\cos \left( 36{}^\circ  \right)=\cos \left( 30{}^\circ +6{}^\circ  \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \left(  ...
若只考cos36-cos72=?   可用和差化積 (以下"度"省略)
cos36-cos72
=2sin18*sin54=2sin18*cos18*cos36/cos18
=2sin36*cos36/ (2cos18)= sin72 / (2sin72)
=1/2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-18 10:31 PM 編輯 ]

TOP

引用:
原帖由 wrty2451 於 2014-5-17 11:00 PM 發表
原式=(sin^2 6度+cos^2 6度+sin 6度-cos^2 6度+sin^2 6度) / (cos6度+2sin6度cos6度)
        =(2sin^2 6度+sin 6度) / ( cos6度(1+2sin6度) )
        =2sin6度/cos6度
        =2tan6度
wrty2451兄您好:
答案不是2tan6度
分子部分化簡有問題

TOP

填13:幾何+向量內積解
這題用幾何真的很有難度,小弟連問幾位高手中的高手都投降
後來想到還是要搭配代數來處理
圖形參考附件(下面度省略)
題目改成[cos12-(-1-sin6)] / [sin12-(-cos6)]
令A(sin12,cos12)=(cos78,sin78)
B(-cos6,-1-sin6)=(cos186,-1+sin186)
即證角ACO1=60度,可得所求AB斜率=√3

大概說一下,圖中EO1O2為正三角形
E(cos210,sin210)=(-√3/2,-1/2)
有一個關鍵地方要證明:AB垂直EO2
可利用向量內積來證
向量O2E=(-√3/2,1/2)
向量BA=(sin12+cos6,cos12+sin6+1)
兩向量內積為(-√3/2)sin12+(-√3/2)cos6+(1/2)cos12+(1/2)sin6+1/2
= -cos30*sin12+sin30*cos12-sin60*cos6+cos60*sin6+1/2
=sin18 -sin54+1/2 =0  (可仿前面證出sin54-sin18=1/2)
(這個等式證出其實答案也就得出
所以這題其實是用sin54-sin18=1/2 再改成和差化積的寫法)
若續看圖,易知EF弧=12
角ACO1=1/2(AQ弧+PF弧)=1/2(78+30+12)=60
可得所求AB斜率=√3 (不然算O2E的斜率也可以)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-21 10:19 PM 編輯 ]

附件

特殊三角函數值.png (175.17 KB)

2014-5-21 22:07

特殊三角函數值.png

TOP

引用:
原帖由 tsusy 於 2014-5-21 11:27 PM 發表
wrty2451、hua0127、Ellipse 三位老師,兩種解法,我都想不到

敝人不才只好來一個無賴的猜答案

當 \( x \approx 0, \sin x = x, \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \)

故 \( \sin 6^\circ \approx \frac{\pi}{30} \ap ...
我真服了您可以這樣做~寸絲總是令人有異想不到的解法
昨天goole這題,發現幾年前老王也在yahoo知識家問過~(可見這題難度)
目前搜尋為止, 尚未有人用幾何方式求出,hua0127兄跟鋼琴兄的特殊解法
可謂最快速解.而小弟只想換一種(幾何)方式來詮釋而已~
純粹無聊,吃飽沒事做~~

TOP

發新話題