計算第 5 題
還蠻好玩的 ...

1/99^2 = (1/99)/99
= (0.01 + 0.0001 + 0.000001 + ...)/99
= 0.01/99 + 0.0001/99 + 0.000001/99 + ...

寫成直式如下
  0.0001010101...
  0.0000010101...
  0.0000000101...
  0.0000000001...
+ ...............
-------------------------
  0.0001020304......

1/99^2 = 0.0001020304......9697990001020304......
循環節中，因進位的關係，97 之後是 99，沒有 98

  .....97
  .....0098
  .....000099
  .....00000100
  .....0000000101
+ ...................
-------------------------
  .....979900010.......


故 n = 2 * 99 = 198

計算第 2 題
[x^2 + x] = 6x + 20 為整數
故 x 為有理數

x^2 + x - 1 ＜ 6x + 20 ≦ x^2 + x
x^2 + x - 21 ＜ 6x ≦ x^2 + x - 20

令 6x = a 為整數
x = a/6

(a/6)^2 + (a/6) - 21 ≦ a ≦ (a/6)^2 + (a/6) - 20
720 ≦ a(a - 30) ＜ 756
易知 a = 46 or -16
x = 23/3 or -8/3

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-11 10:53 AM 編輯 ]

填充第 1 題
易知
a、b、c 不可能均為奇數

(1) a = 2
(a + b) * b + 1 = (b + 1)^2 = c + 121
(b + 12)(b - 10) = c
b = 11，c = 23

(2) b = 2
(a + b) * b 為偶數
c + 120 為奇數
不合

(3) c = 2
(a + b) * b = 2 * 61
b = 2，a = 59
不合

所求 = 1270

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-11 11:21 AM 編輯 ]

第 9 題
任取 2 數，必為一大一小
其差可能為 1，2，3，...，49
差為 n 的情形有 (50 - n) 種，n = 1 ~ 49
所求 = (1 * 49 + 2 * 48 + 3 * 37 + ... + 49 * 1)/C(50，2) = 17

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-11 09:31 PM 編輯 ]

計算第 3 題
題意是國、民、親 3 黨"共"派出 7 人，排成一列時只論黨，而把同黨的人視為相同嗎？
這題可能要從親民黨派 7 人、派 6 人、派 5 人、...、派 0 人，再插入國民黨和民進黨的人去討論
有沒有老師有快速解法？

引用:

原帖由 GGQ 於 2014-5-11 09:28 PM 發表
這樣第 2 大的數都是 10 ??
為何? 不懂??
譬如:  9,10,10,12,29 這一組
第2大的數不是 12 嗎?

抱歉，小弟把第 2 小當成第 2 大，哈哈

修正一下
第 3 題
(1) 第 2 大數是 10
10，10，10，10，30

(2) 第 2 大數大於 10
由於眾數是 10
由小而大 x，10，10，y，x + 20
2x + y = 70 - 10 * 2 - 20 = 30
(x，y) = (9，12)，(8，14)，(7，16)，(6，18)，(5，20)，(4，22)

故第 2 大數有 7 種可能

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-11 09:42 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 GGQ 於 2014-5-12 02:28 PM 發表
計算T和S的計算方法,我是這樣算的

先把 T 和 S 取出 , 50球 剩48球
___S____T____

再把48球 平均放入 T和S的3個縫隙(一個縫隙 放16球)
如此 算出 S和T的期望值了 ...

這一招站長大人用過 ...

引用:

原帖由 agan325 於 2014-5-15 01:58 PM 發表
校方公告的答案中 填13  答案為3^(1/2)
我自己算的是tan6  看到前面的前輩也算tan6
能否請問!~~~~~~真相到底是什麼？？

分子是 1 + sin6∘ + cos12∘，不是 1 + sin6∘ - cos12∘

測試輸入方程式

計算第 1 題
利用 \({{x}^{2}}-x+1=\frac{{{x}^{3}}+1}{x+1}\)

分別設
\(\begin{align}
  & a=x+1,x=a-1 \\

& b={{x}^{3}}+1,x=\sqrt[3]{b-1} \\
\end{align}\)
代入原式

所求 = 常數項相除 = \(\frac{{ - 335}}{{ - 5}} = 67\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-18 09:07 AM 編輯 ]

\({{(a-1)}^{12}}+7{{(a-1)}^{11}}+1=0\)之十二個根的乘積=1-7+1=-5

\(\begin{align}
  & {{\left( \sqrt[3]{b-1} \right)}^{12}}+7{{\left( \sqrt[3]{b-1} \right)}^{11}}+1=0 \\
& {{\left[ {{\left( b-1 \right)}^{4}}+1 \right]}^{3}}={{\left[ -7{{\left( \sqrt[3]{b-1} \right)}^{11}} \right]}^{3}} \\
& {{\left( b-1 \right)}^{12}}+3{{\left( b-1 \right)}^{8}}+3{{\left( b-1 \right)}^{4}}+1+343{{\left( b-1 \right)}^{11}}=0 \\
\end{align}\)
之十二個根的乘積=1+3+3+1-343=-335