第二題前面板主有PO來源跟解答，可以參考一下
補個第一題：
顯然零多項式為其中一種可能，
若不為零多項式的話，觀察代入\(f(-1)=f(0)=f(1)=0\),
令\(f(x)=a(x-1)x(x+1)Q(x)\), 其中\(a\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\), \(Q(x)\)為首項係數1的多項式
代回原式：
\(a(x-1)x(x+1)(x+2)Q(x+1)=a(x-1)x(x+1)(x+2)Q(x)\), 對兩邊多項式做除法得到
\(Q(x+1)=Q(x)\), 得到\(Q(x)=1\)
所以\(f(x)=a(x-1)x(x+1), a\in \mathbb{R}\)

(其實也可以由 \(\frac{f(x+1)}{f(x)}=\frac{x+2}{x-1}\) 觀察連消的特性看出 \(f(x)=a(x-1)x(x+1)\) )

第一題的解若我沒有遺漏其他的細節部分，
a(x-1)x(x+1) 這一類的解對於所有的a 代入都滿足題意，
所以我想是的

第二題的部分考慮如下：
先觀察原方程式解\(\tan \alpha ,tan\beta \)滿足
\[\tan \alpha +\tan \beta =9,\tan \alpha \tan \beta =1\], 看出\(\tan \alpha >0,\tan \beta >0\).
故可知道所有的解會落在區間\((0,\frac{\pi }{2})\)跟\((\pi ,\frac{3}{2}\pi )\)內，
先觀察根在\((0,\frac{\pi }{2})\)的情況
此時\(\tan \alpha \)唯一對應1個\(\alpha \), \(\tan \beta \)唯一對應1個\(\beta \)
由 \(\tan \alpha \tan \beta =1\) 可知道此時 \(\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}\)
由周期函數的特性知在\((\pi ,\frac{3}{2}\pi )\)的根為\(\pi +\alpha ,\pi +\beta \)
故所有的根之和為\(\alpha +\beta +(\pi +\alpha )+(\pi +\beta )=3\pi \)

希望能幫到你解惑

填充第11題：
令M為BC之中點，本題只要驗證射線OM垂直BC即可。
將過程的(1)、(2)式相減得到
\[\overrightarrow{AO}\cdot (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}\left( {{\left\| \overrightarrow{AB} \right\|}^{2}}-{{\left\| \overrightarrow{AC} \right\|}^{2}} \right)\]
\[\Rightarrow \left( \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MO} \right)\cdot \overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\left( {{\left\| \overrightarrow{AB} \right\|}^{2}}-{{\left\| \overrightarrow{AC} \right\|}^{2}} \right)\]
\[\Rightarrow \overrightarrow{MO}\cdot \overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\left( {{\left\| \overrightarrow{AB} \right\|}^{2}}-{{\left\| \overrightarrow{AC} \right\|}^{2}} \right)-\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\left( {{\left\| \overrightarrow{AB} \right\|}^{2}}-{{\left\| \overrightarrow{AC} \right\|}^{2}} \right)-\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right)\cdot \overrightarrow{CB}=0\]
(計算過程省略)

第10題
觀念就是兩根在複數平面上會落在半徑為\(\sqrt{\sqrt{{{7}^{2}}+{{24}^{2}}}}=5\)的圓上且兩根的主幅角之差為\(180{}^\circ \),表示兩根與原點會三點共線，所以兩根的距離即為圓的直徑，即
\[\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\sqrt{\sqrt{{{7}^{2}}+{{24}^{2}}}}=10\]

希望這樣有解釋到