1、在1到100之間的正整數n中,使得\({{n}^{2}}+7\) 與\(n+4\) 不互質的n有幾個? (這題目我在考場上,看到的第一題,又是今年第一家筆試,正個沒有了解題目意思,當下當成1到100中有多少個正整數與\({{n}^{2}}+7\) 和\(n+4\)不互質~~難怪當下越想越奇怪,整個沒有了解題目意思。犯了學生常犯的錯誤)
解
\({{n}^{2}}+7\) 與\(n+4\) 不互質,代表\({{n}^{2}}+7\) 與\(n+4\) 最大公因數不是1。
因此使用輾轉相除法。
\({n^2} + 7\)與\(n+4\),最大公因數23
令 \({n^2} + 7=23h\)
\(n+4=23k\) \((h,k)=1\)
\(\begin{array}{l}
1 \le n = 23k - 4 \le 100\\
\Rightarrow 0. \cdots \le k \le 4. \cdots \\
k = 1,2,3,4
\end{array}\)
共有4個
2、設\(f(x) = 2{x^5} + 3{x^4} + 3{x^3} + 5{x^2} + 6x + 10\),則\(f(96) \div 193\)的餘數為?
解
觀察發現\(193=(96)(2)+1\),因此把 \(f(x) = 2{x^5} + 3{x^4} + 3{x^3} + 5{x^2} + 6x + 10\)除以 \(2x+1\)
使用綜合除法
\(f(x) = 2{x^5} + 3{x^4} + 3{x^3} + 5{x^2} + 6x + 10 = (2x + 1)Q(x) + r\),求出 \(r=8\)
\(\begin{array}{l}
f(x) = (2x + 1)Q(x) + 8\\
f(96) = (2 \times 96 + 1)Q(96) + 8
\end{array}\)
答案 \(8\)
3、設 \(f(x) = {x^2} + 2x - 3, - 4 \le x \le 1\),求合成函數 \(f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right)\)之最大值為?
解
\(\begin{array}{l}
y = f(x) = {x^2} + 2x - 3, - 4 \le x \le 1\\
y = f\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2} - 4, - 4 \le x \le 1
\end{array}\)
這是一個開口向上的拋物線,頂點會產生最小值。頂點的\(x\)座標有包含在範圍內,可以得到
\[ \Rightarrow - 4 \le y \le 5\]
\[\begin{array}{l}
f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right) = f\left( {f\left( y \right)} \right)\\
k = f\left( y \right) = {\left( {y + 1} \right)^2} - 4, - 4 \le y \le 5\\
\Rightarrow - 4 \le k \le 32\\
f\left( k \right) = {\left( {k + 1} \right)^2} - 4, - 4 \le k \le 32
\end{array}\]
當k=32時,原來題目的合成函數有最大值1085
填充題第7題,就看13樓,寸絲老師的解法
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本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-27 08:10 PM 編輯 ]