第5題：
原式整理得 \(\log_{12}(\sqrt{x}+\sqrt[4]{x})=\log_{3}\sqrt[4]{x}\)
設 \(k=\log_{3}\sqrt[4]{x}\) \(\Rightarrow \sqrt[4]{x}=3^k\) 且 \(\sqrt{x}=9^k\)
原式變成 \(\log_{12}(9^k+3^k)=k\) \(\Rightarrow 9^k+3^k=12^k\)
\(\displaystyle \Rightarrow \Big(\frac{9}{12}\Big)^k+\Big(\frac{3}{12}\Big)^k=1\) \(\Rightarrow k=1\) \(\Rightarrow x=81\)
類似題可參考101松商
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1425&page=2#pid6736
證明2：
剛剛才想到可以利用方向餘弦的概念來證明！
\(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\) 表示 \((\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\) 形成一組方向餘弦
故可設 \(\displaystyle (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)=\Big(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\Big)\) (三個角度皆銳角，故此地 \(x,y,z>0\))
\(\displaystyle \Rightarrow \tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma=\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}+\frac{\sqrt{z^2+x^2}}{y}+\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\)
\(\displaystyle \geq \frac{\sqrt{2yz}}{x}+\frac{\sqrt{2zx}}{y}+\frac{\sqrt{2xy}}{z}\geq \sqrt{2}\times 3\sqrt[3]{\frac{xyz}{xyz}}=3\sqrt{2}\)
兩個不等式都是由算幾不等式得到！
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本帖最後由 Pacers31 於 2014-4-29 08:51 AM 編輯 ]
