97台南女中

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題目: 令滿足\(a + b + c + d = abcd\) 的正整數有幾組解？
(想法: 正整數有離散性。所以一定要窮盡的取例子，先找範圍，才可以縮小搜尋的範圍)

解：
不失一般性，先令\(a \le b \le c \le d\)
\(a \le d,b \le d,c \le d,d \le d\)
由此可以推導出\(a + b + c + d \le 4d \Rightarrow abcd \le 4d \Rightarrow abc \le 4\)

(1) \(abc=1\)，用\(a + b + c + d = abcd\)驗算
\((a,b,c) = (1,1,1)\)  \(1 + 1 + 1 + d = 1 \times 1 \times 1 \times d \Rightarrow 3 + d = d\) 不合

(2) \(abc=2\)，用\(a + b + c + d = abcd\)驗算
\((a,b,c) = (1,1,2)\)  \(1 + 1 + 2 + d = 1 \times 1 \times 2 \times d \Rightarrow 4 + d = 2d \Rightarrow d = 4\)
一共有\(\frac{{4!}}{{2!}} = 12\)組

(3) \(abc=3\)，用\(a + b + c + d = abcd\)驗算
\((a,b,c) = (1,1,3)\) \(1 + 1 + 3 + d = 1 \times 1 \times 3 \times d \Rightarrow 5 + d = 3d \Rightarrow d = \frac{5}{2}\) 不合

(3) \(abc=4\)，用\(a + b + c + d = abcd\)驗算
\((a,b,c) = (1,1,4)\) 帶入驗算，求出 \(d=2\) (已經計算過這組狀況)
\((a,b,c) = (1,2,2)\) \(1 + 2 + 2 + d = 1 \times 2 \times 2 \times d \Rightarrow 5 + d = 4d \Rightarrow d = \frac{5}{3}\) 不合

由此可知滿足的正整數解有12組