分層討論
1. 當 \( x,y \geq 0 \) 時，\( ||x-2| - 1| + ||y-2|-1| =1 \)。將之對 x, y 做對稱可得原圖形

2.  在 1. 條件下且 \( x,y \geq 2 \)，則 \( |x-3| + |y-3| =1 \)。將之對 \( x=2, y=2 \) 做對稱，且截去2,3,4 象限(若有)，可得 1 之圖形

\( |x-3| + |y-3| = 1 \) 之圖形在 \( x,y\geq 2 \) 的範圍中為一周長為 \( 4\sqrt{2} \) 之正方形。

回推 1. 原圖在 \( x,y \geq 0 \) 4個正方形，

再回推，知原圖為 16 個正方形，這此邊的總長度為 \( 4^3 \sqrt{2} =64\sqrt{2} \)

繼續推廣，改成 \( \triangle ABC\sim\triangle DEF \)，其中 \( \triangle DEF \) 為一固定的三角形。

則當 \( \overline{OC} \) 有最大值時，B 恰好轉了 \( \angle D+\angle E \) 的角度。

由這個推廣，可以知正 n 邊形時 \( \overline{OC_{i}} \) (Ellipse 兄的原符號) 都有一樣的答案

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-4-22 11:26 PM 編輯 ]

9.
(1)\( A-tI=\begin{bmatrix}2-t & 2 & 1\\
1 & 3-t & 1\\
1 & 2 & 2-t
\end{bmatrix} \), \( p(t)=\begin{vmatrix}2-t & 2 & 1\\
1 & 3-t & 1\\
1 & 2 & 2-t
\end{vmatrix}=-t^{3}+7t^{2}-11t+5 \)

\( p(t) = -(t^{3}-7t^{2}+11t-5)=-(t-1)^{2}(t-5) \)

(2) \( A-I=\begin{bmatrix}1 & 2 & 1\\
1 & 2 & 1\\
1 & 2 & 1
\end{bmatrix}\Rightarrow E_1=span\{\begin{bmatrix}1 & -1 & 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1 & 0 & -1\end{bmatrix}\} \)

最小多項式 \( p(t)=(t-1)(t-5)=t^{2}-6t+5 \)


(3) \( f(x) \) 除以 \( p(x) \)，得餘式 \( 13x-2 \)

\( f(A)=r(A)=15A-2I=\begin{bmatrix}28 & 30 & 15\\
15 & 43 & 15\\
15 & 30 & 28
\end{bmatrix} \)

(4) \( \lambda=5
, v=\begin{bmatrix}1 & 2 & 1\end{bmatrix}
, P=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0\\
1 & 0 & -1\\
1 & 2 & 1
\end{bmatrix} \)。

註：題意要求的是 \( PAP^{-1} \)，故特徵向量是選左特徵向量

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-4-24 12:44 PM 編輯 ]

3. \( \triangle DEF \) 是一個任意的固定三角形，沒有其它限制條件