第四題答案

不失一般性，把半圓圓心設在原點。半徑為 r，A點固定放在 A(a,0)   \(r \ge 0,a > 0\)
\(B(r\cos \theta ,r\sin \theta ),{0^0} \le \theta  \le {180^0}\) ，移動B點，可以觀察出 \(\overline {OC} \)發生最大值的地方，
會在第一象限\({C_1}\)的時候，令\({C_1} = C\)。設\(C(x,y)\)

\[\begin{array}{l}
\left( {x - a} \right) + yi = \left\{ {\left( {r\cos \theta  - a} \right) + ir\sin \theta } \right\}\left\{ {\cos \left( { - {{60}^0}} \right) + i\sin \left( { - {{60}^0}} \right)} \right\}\\
.................. = \left\{ {\frac{1}{2}r\cos \theta  - \frac{1}{2}a + \frac{{\sqrt 3 }}{2}r\sin \theta } \right\} + i\left\{ {\frac{1}{2}r\sin \theta  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}r\cos \theta  + \frac{{\sqrt 3 }}{2}a} \right\}
\end{array}\]

\[x - a = \left\{ {\frac{1}{2}r\cos \theta  - \frac{1}{2}a + \frac{{\sqrt 3 }}{2}r\sin \theta } \right\} \Rightarrow x = \left\{ {\frac{1}{2}r\cos \theta  + \frac{1}{2}a + \frac{{\sqrt 3 }}{2}r\sin \theta } \right\}\]
\[y = \left\{ {\frac{1}{2}r\sin \theta  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}r\cos \theta  + \frac{{\sqrt 3 }}{2}a} \right\}\]

\[\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = {r^2} + {a^2} + ar\left\{ {\sqrt 3 \sin \theta  - \cos \theta } \right\}\\
............ = {r^2} + {a^2} + ar\left( 2 \right)\left\{ {\sin \theta \cos {{30}^0} - \cos \theta \sin {{30}^0}} \right\}\\
............ = {r^2} + {a^2} + ar\left( 2 \right)\sin \left( {\theta  - {{30}^0}} \right)
\end{array}\]

當\[\theta  - {30^0} = {90^0}\] 時，會產生最大值。  所以可以得到此時 \[\theta  = {120^0}\]

動態檔案如下

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-21 11:52 PM 編輯 ]

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h ttp://web.chsh.chc.edu.tw/bee/100/1000731.pdf　連結已失效

這個PDF檔案寫得很詳細

基本上看去，你的證明沒有問題。這個部分，我上課的經驗，課本都是沒有提到，我上課也是匆匆帶過，
教師甄選就是喜歡考這樣的證明。看那網頁上的證明，大學時候修統計課程的上課記憶，證明過程又回想起來了。我也要來趕緊推導證明一次。加深記憶。

我現在在做一個證明，也是教師甄選的考古題。
證明 \[0.3<{{\log }_{10}}2<0.4\]
一般上課時候，我都會直接不交代這部分，只是教導學生查表，或是如課本說的用計算機算 出近似值。
近似值的部分，就直接要學生記憶下來
今天研究了好幾堂空堂，把證明的部分完整寫完了。

我正要發問，關鍵觀念。
就在B點繞半圓，此時C點軌跡也是半圓移動(這是第一個要看出來的)。
第二個要發現的就是，OC最長時候，就是圓外一點到圓上動點最大值發生在通過圓心時候

這個方法真的很快，需要把圖形完整架構關係畫出來，還有做很多輔助線。這些動作都做完之後，答案就很快出來˙了。
(這要對幾何學圖形很敏銳的能力)

我的方法就是單純從圖形分析，剩下就是代數運算了。圖形花的力氣少，代數的運算部分就比較繁雜了

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-22 09:04 PM 編輯 ]

(1)
特徵多項式
取行列式展開\[f(t) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 - t}&2&1\\
1&{3 - t}&1\\
1&2&{2 - t}
\end{array}} \right| =  - {t^3} + 7{t^2} - 11t + 5\]

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-23 11:19 PM 編輯 ]